건설적으로 임베딩 $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ 으로 $\mathbb{R}$

Question

선택의 공리를 사용하면 $\mathbb{R}$ 동형이다 $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ 벡터 공간으로 $\mathbb{Q}$. (AC 가정, 두 공간 모두 하멜 기반$\mathbb{Q}$ 동일한 카디널리티이므로 동형입니다.)

그래서 제 질문은 이러한 동형이 $\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ AC없이 구성 할 수 있습니다. $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ 으로 $\mathbb{R}$AC없이. (임베딩이란$\mathbb{Q}$-한 공간에서 다른 공간으로의 선형지도.)

후자는 다음의 부분 공간을 구성 할 수 있는지 묻는 것과 같습니다. $\mathbb{R}$ schauder-basis가 끝났습니다. $\mathbb{Q}$, 그러한 부분 공간은 자동으로 $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

도와 주셔서 감사합니다!

Answer 1

사실 사소하지 않은 동형이 없다는 것은 ZF와 일치합니다. $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. 이것이 나온 이전 답변 에서 인용하면 :

모든 실수 세트가 Baire 속성을 갖는 Shelah 가 만든 ZF 모델이 있습니다 . 이것은 내가 올바르게 이해한다면 0이 아닌 동형이 없다는 것을 의미합니다.$\mathbb{R}$모든 셀 수있는 아벨 그룹으로 (이산 토폴로지를 가진 셀 수있는 아벨 그룹은 폴란드 그룹 이므로이 모델에서는$\mathbb{R}$이러한 그룹은 자동으로 측정 가능하므로 자동으로 연속됩니다). 그래서$\mathbb{R}$, 및 $SO(2)$,이 모델에 셀 수있는 인덱스의 하위 그룹이 없습니다.

이것은 명시 적 임베딩의 가능성을 배제하지 않습니다. $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; 나는 그런 것이 존재하는지 여부는 확실하지 않지만 내 머릿속에서는 그렇지 않을 것입니다. 모든 선형지도가 ZF와 일치 할 것이라고 확신합니다.$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ 요인의 일부 유한 하위 집합에 대한 투영을 통해 요인.