그룹 이론 : 대칭 연구?
나는 기본 그룹 이론을 이해합니다. 나는 몫 그룹까지 대부분의 표준 항목을 보았다고 말할 수 있습니다.
나는 한 곳 이상에서 집단 이론이 대칭에 대한 연구라는 제안 또는 무언가를 (대략) 변하지 않은 상태로 두는 행동을 본 것처럼 느낍니다. 불행히도 몇 가지 소스 만 찾을 수 있습니다. 이 3 Blue 1 Brown 비디오 에서 0:49에 내레이터는 "[그룹 이론]은 대칭 개념을 성문화하는 것입니다."라고 말합니다. 전체 비디오는 모든 그룹이 무언가의 대칭을 나타낸다는 생각이 주입 된 것 같습니다.
에서 이 비디오 Langlands 프로그램에 대한 발표자 나와는 같은 리드에 그룹에 약 33:00부터 대칭. 그가 실제로 그룹 이론을 대칭 연구에 대한 것으로 묘사하는지는 모르겠지만 일반적인 태도는 이전 비디오와 꽤 비슷해 보입니다.
이것은 내 직감에 잘 맞지 않습니다. 나는 그룹 이론의 일부 가 대칭과 관련이 있다는 것을 완벽하게 잘 알 수 있습니다 . 이것을보기 위해 사각형을 회전하고 뒤집는 것을 고려하면됩니다. 그러나 모두 대칭에 관한 그룹 이론입니까? 대칭과 관련이없는 그룹이 많이있을 것 같습니다. 내가 잘못?
답변
Cayley의 정리를 고려하면 예라고 말할 수 있습니다.
기하학적 물체의 대칭이라고 말할 수 있을지 모르겠지만. 이 진술은 약간의 지원이 필요합니다.
제 프로필을 보시면 역반 집단과 귀납적 groupoids에 대한 제 석사 학위 논문 링크가 있습니다. 그들은 그룹 이론의 대칭 개념을 특정 프랙탈의 자기 유사성 사례와 같은 부분 대칭으로 일반화합니다. 사실, 역반 집단과 귀납적 groupoid 사이에는 (몇 가지) 좋은 관계가 있습니다. 이는 각각을이 더 넓은 대칭 감각의 공리 화로 간주합니다. 즉, 하나에서 다른 것으로 이동할 수 있습니다.
내 배경은 순수한 수학이 아닌 물리학이고, 그룹에 대한 일반적인 전문가는 아니지만, 물리학에서 많은 그룹이 발생하며 라그랑지안의 대칭과 관련이 있습니다. 또한 Noether의 정리에 따르면 이러한 대칭은 에너지, 운동량, 각 운동량 및 전하와 같은 보존 된 양과 관련됩니다. 양자 장 이론에서 입자는 종종 "내부"대칭을 가지며, 일반적으로 특정 텐서를 활기차게 만드는 선형 그룹으로 설명됩니다. 제가 생각할 수있는 대부분의 그룹은$GL_n(C)$, 또는 $ GL_n (R) 정의 표현에 지정된 텐서를 남겨 둡니다 (그리고 인접 및 이중).
요컨대 나는 그렇다고 말할 것입니다.
문제는 반드시 모든 그룹 이론이 대칭 인지 아닌지가 아니라 그룹이 다양한 대칭과 연결되는 것이 왜 그렇게 자연스러운가하는 것입니다. 물론 그룹이 Galois 그룹과 같은 다항 방정식의 솔루션이나 Gauss 및 Kronecker가 사용하는 수 이론 구조 등과 연결되는 것은 당연합니다.
여기서 가능한 확장은 그룹을 추상 그룹뿐만 아니라 변형 그룹, 거짓말 그룹, 대수 그룹 등으로 고려하는 것입니다. 대칭 및 거짓말 그룹에 대한 흥미로운 게시물은 여기를 참조하십시오.
대칭으로서의 그룹과 거짓말 그룹에 대한 질문