Liouville Lambda 함수의 일반화

Question

허락하다 $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ 정의 $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ 어디 $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ 과 $[\cdot]$ 바닥 함수입니다.

에 대한 $k=1$, $\lambda_1$Liouvilles Lambda 함수입니다. 에 대한$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-이 기능에 대해 알려진 것이 있습니까?

-만약 $\Re(s)>1$ 우리는 정의 $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

사이에 어떤 연관성이 있습니까? $L_{\lambda_2}(s)$ 그리고 Riemann zeta 함수의 0?

-나는 그것을 증명하는 방법을 모르는 것 같아요 $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ smilar ~에 $\lambda_1$ 우리는 다음의 합에 제곱근 제거를 기대해야합니까? $\lambda_2$ 게다가?

Answer 1

사건을 고려해 봅시다 $k=2$; 이 주장을 일반화 할 수 있습니다.$k$. 에 대한$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ 이것은 다음과 같이 표현 될 수 있습니다. $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$이제 Selberg-Delange를 사용할 수 있습니다. 이것은 다음에 대한 점근 적 확장을 보여줍니다.$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, 점근선의 선두 용어는 $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ 적절한 상수 $C$. 따라서 합계에 대한 점근선을 찾을 수 있습니다.$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ 적절한 상수 $A$ 과 $B$. 기묘한! 그러나 당신은 또한 이상한 물체를보고 있습니다!