repunit의 자릿수 찾기

Question

다음으로 나눌 수있는 가장 작은 반복 단위의 자릿수를 찾으십시오. $19$.

나는 repunit 번호를 믿습니다. $N$ 숫자는 다음과 같은 형식입니다. $ \sum_{k=0}^{N-1} 10^k = \frac{10^N -1}{10-1} = \frac{10^N - 1}{9}, $ 다음으로 나눌 수 있습니다. $n$ 만약 $10^N - 1 \equiv 0 \pmod{9n}.$ 솔루션은 다음을 충족하는 가장 작은 수 N이어야합니다. $10^N -1 \equiv 0 \pmod{9 \cdot 19}.$ 누군가 이것을 끝낼 수 있습니까?

Answer 1

$10\equiv1\pmod9$, 그래서 $10^N\equiv 1 \pmod9$ 모든 $N\in\mathbb N$,

그래서 당신의 질문은 가장 작은 숫자가됩니다 $N$ 만족스러운 $10^N\equiv1\pmod{19}$.

으로 페르마의 작은 정리 , 우리는 알고있다$10^{18}\equiv1\pmod{19}$;

우리는 단지 그것을 보여 주면 $10^6\not\equiv1\pmod{19}$ 과 $10^{9}\not\equiv1\pmod{19}$.

방법 1

$10^2\equiv5\bmod19$, 그래서 $10^3\equiv50\equiv12\bmod19$, 그래서 $10^6\equiv144\equiv11$, 및 $10^9\equiv132\equiv18\bmod19$.

방법 2

$10^6-1=(10^3+1)(10^3-1)=(7\times11\times13)(27\times37)$ 나눌 수 없습니다 $19$.

으로 오일러의 기준 ,$10^9-1\equiv\left(\dfrac{10}{19}\right)=\left(\dfrac{2}{19}\right)\left(\dfrac{5}{19}\right)=(-1)\left(\dfrac45\right)=-1\pmod{19}$.