Samuelson 불평등에 대하여

Question

우리가 세트가 있다면 $n$ 실수 : $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ 산술 평균은 다음과 같습니다. $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ 표준 편차 : $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ 세트의 경우 $n$ 숫자는 다음과 같이 제한됩니다. $$m\le x_i\le M$$ Bhatia와 Davies가 입증 한 Samuelson 불평등의 개선은 다음과 같습니다. $$S^2\le (M-A)(A-m)$$내 질문은 : 언제 평등이 유지 되는가? 모든 종류의 숫자 분포에 대해 동등성이 유지됩니까?$\Omega?$

Answer 1

어떠한 것도 $i$ 우리는 그것을 본다 $S^2$ 볼록 함수 $x_i$, 내용 : $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Id est, 동등성이 발생합니다. $x_1=x_2=...=x_k=m$ 과 $x_{k+1}=...=x_n=M.$

이제 값을 선택해야합니다. $k$, 최대 값을 얻을 수 있습니다.

도움이 되길 바랍니다.