A derivada parcial da função gradiente

Question

Tenho vergonha de fazer essa pergunta básica, mas ainda estou confuso.

Função dada $f \in C^2$, mostre isso $g:=\text{grad} \, f$ é um $C^1$ função.

Eu entendo que temos que mostrar que as derivadas parciais de 1ª ordem de $g$ existem e são contínuos, mas desde $g : U \to \mathbb{R}^n$ é uma função com valor vetorial. Como faço para descobrir as derivadas parciais de primeira ordem?

Edit: tentei aplicar a regra da cadeia e deduzi que $$D_1(g\circ f)(x)=D_1 D_{1}^2f + \dots + D_1 D_{n}^2f$$ e desde $f$ é um $C^2$ função, as derivadas de segunda ordem de $f$ são contínuos e, portanto, a derivada de primeira ordem de $g$também é contínuo. Estou no caminho certo?

Answer 1

Primeiramente, $g$ é diferenciável precisamente quando seus componentes são, então podemos considerar cada componente de $g$individualmente. Vamos considerar o$i$o componente $$ g_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}. $$ Agora $f$é duas vezes diferenciável, portanto, podemos diferenciar o lado direito e, por extensão, o lado esquerdo. A expressão para a derivada de$g_i$ é $$ \frac{\partial g_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} $$