Árvores discretas, densas e contínuas

Question

Assumindo que usamos a definição teórica de conjunto de uma árvore:
Um conjunto$T$ com um pedido parcial $<$ é uma árvore se para qualquer $t \in T$
o conjunto $\{ s \in T : s < t \}$ é bem ordenado por $<$.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_(set_theory)

Nós sabemos como definir ordens lineares discretas, densas e contínuas usando cortes:

• Uma ordem linear é discreta se cada corte for um salto;
• Uma ordem linear é densa se não contém saltos;
• Uma ordem linear densa é contínua se não contiver lacunas.

Existe uma razão para não usar os tipos de ordens nas árvores?
Podemos definir árvores discretas, densas e contínuas da mesma maneira?

Minha tentativa:

Um conjunto $T$ com um pedido parcial $\le$ é uma árvore discreta (resp. densa, contínua) se para qualquer $t \in T$:

1. o conjunto $S = \{ s \in T : s \le t \}$ é totalmente ordenado por $\le$, e
2. o pedido total de $S$ é discreto (resp. denso, contínuo).

Se adicionarmos a propriedade de conectividade:

1. para quaisquer dois elementos $x$ e $y$ do $T$ há um elemento $z$ de tal modo que $z \le x$ e $z \le y$,

parece que a nova definição inclui os conjuntos de árvores reais:
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_tree

Isso faz sentido?

Agora, supondo que separamos árvores discretas e contínuas usando o tipo de pedido.

Vamos dar um set $T = \{0\} \cup \mathbb T$ com a ordem parcial $x < y \iff |x| < |y|$,
onde$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}$ é o círculo unitário (https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group),
e$0 = (0,0)$ é o centro do círculo.

De acordo com minha definição, $T$é uma árvore discreta.
Mas$T$ contém um subconjunto incontável (não discreto) $\mathbb T$.
Que tipo de árvore é?

Answer 1

Em seu exemplo, $(\{0\}\cup\mathbb T,<)$ não sabe sobre os elementos de $\mathbb T$ formando um círculo contínuo em $\mathbb C$.

Você obteria uma árvore isomórfica ao tomar um conjunto discreto $X$ com cardinalidade $2^{\aleph_0}$ e deixar $T'=\{0\}\cup X$ com $0<x$ para todos $x\in X$ e os elementos de $X$ incomparável.