Avalie uma determinada integral restrita tridimensional

Question

O resultado da integração tridimensional

Integrate[9081072000 (Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 
2])^2 (Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 
3])^2 (Subscript[λ, 2] - Subscript[λ, 3])^2 (-1 + 
2 Subscript[λ, 1] + Subscript[λ, 2] + 
Subscript[λ, 3])^2 (-1 + Subscript[λ, 1] + 
2 Subscript[λ, 2] + Subscript[λ, 3])^2 (-1 + 
Subscript[λ, 1] + Subscript[λ, 2] + 
2 Subscript[λ, 3])^2 Boole[Subscript[λ, 1] > Subscript[λ, 2] && 
Subscript[λ, 2] > Subscript[λ, 3] && 
Subscript[λ, 3] > 
 1 - Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 2] - 
  Subscript[λ, 3] && 
Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 3] < 
 2 Sqrt[Subscript[λ, 
   2] (1 - Subscript[λ, 1] - Subscript[λ, 2] - 
     Subscript[λ, 3])]], {Subscript[λ, 3], 0, 1}, {Subscript[λ, 2], 0, 1}, {Subscript[λ, 1], 0, 1}],

isso é,

para a probabilidade de separabilidade absoluta de Hilbert-Schmidt de dois qubit aparentemente pode ser expressa como

\ begin {equation} \ label {HSabs} \ frac {29902415923} {497664} + \ frac {-3217542976 + 5120883075 \ pi -16386825840 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} \ right)} { 32768 \ sqrt {2}} = \ end {equation} \ begin {equation} \ frac {32 (29902415923 - 24433216974 \ sqrt {2}) + 248874917445 \ sqrt {2} (5 \ pi - 16 \ tan ^ {- 1} \ left (\ sqrt {2} \ right))} {2 ^ {16} \ cdot 3 ^ 5} \ approx 0,00365826 \ end {equation}

QuantumComputingStackExchangeQuestion

Isso pode ser explicitamente confirmado usando o Mathematica?

Por meio do uso da transformação,

change = {Subscript[λ, 1] -> x/(1 + 2 x), Subscript[λ, 2] -> y/(1 + y) (1 + x)/(1 + 2 x), Subscript[λ, 3] -> z 1/(1 + y) (1 + x)/(1 + 2 x)};

Nicolas Tessore agora me relatou que ele foi capaz de converter a integral 3D em uma forma irrestrita,

Integrate[integrand2, {z, 1/2, 1}, {y, z, 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z}, {x, y, 2 Sqrt[-((-y - 2 y^2 - y^3 + y z + 2 y^2 z + 
  y^3 z)/(-1 + y + z)^4)] + ( 4 y + z - 3 y z - z^2)/(-1 + y + z)^2}],

Onde

integrand2 = (9081072000 (1 + x)^8 (x - y)^2 (1 - 2 z)^2 (y - z)^2 (-1 + y + z)^2 (z + x (-1 - y + z))^2 (-1 + z + x (y + z))^2)/((1 + 2 x)^16 (1 + y)^15)  .

Indico aqui que o resultado indicado foi obtido no jornal de 2009

Jornal de 2009

Obtive esse resultado (eq. (34) lá), mas o processo passo a passo agora solicitado não foi detalhado. Comentários de interesse atual foram que `[C] opioso uso foi feito de identidades trigonométricas envolvendo o ângulo diédrico tetraédrico$\phi=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$, auxiliado por V. Jovovic "e esse uso foi feito da sequência do site Sloane A025172 -" Seja phi = arccos (1/3), o ângulo diedro do tetraedro regular. Então cos (n * phi) = a (n) / 3 ^ n ". (Esta sequência é" [u] sed ao mostrar que o simplex regular não é "dissecável em tesoura" para um cubo, respondendo assim ao terceiro problema de Hilbert. ".)

Sequência A025172

Esses comentários me levaram a consultar meus arquivos de e-mail.

Em 21 de abril de 2008, escrevi a Vladeta Jovovic (e também a Wouter Meeussen e Neil Sloane) o seguinte:

"Caros Drs. Jovocic / Meeussen / Sloane:

Tenho feito algumas análises nas quais consegui simplificar vários termos trigonométricos usando a relação

cos(n*phi) =a(n)/3^n Onde phi=ArcCos(1/3)

relatado na sequência do Superseeker de Sloane

A025172.

Tenho mais dois termos ArcTan[(1/329 )(729 - 460 Sqrt[2])]e ArcTan[(1/7) (9 + 4 Sqrt[2])], que também se referem claramente, desde 329/729 =a(6)/3^6e -7/9 =a(2)/3^2.

Mas não vejo como manipulá-los para reexpressá-los / simplificá-los em termos de phi, o que presumo ser possível / natural.

Talvez você tenha alguns insights sobre este assunto?

Atenciosamente,

Paul B. Slater

PS Eu também tenho o termo

ArcTan[(1/7) (-3 + Sqrt[2])]

que talvez também tenha uma forma mais simples. "

Recebi respostas:

"para n de 0 a 10 faça q: = tan (-n * phi): print (expandir (q)); od:

                                0


                                 1/2
                             -2 2


                                 1/2
                              4 2
                              ------
                                7


                                  1/2
                              10 2
                            - -------
                                23


                                 1/2
                             56 2
                             -------
                               17


                                 1/2
                             22 2
                             -------
                               241


                                   1/2
                              460 2
                            - --------
                                329


                                  1/2
                            1118 2
                            ---------
                              1511


                                   1/2
                             1904 2
                           - ---------
                               5983


                                   1/2
                            13870 2
                            ----------
                               1633


                                   1/2
                            10604 2
                            ----------
                              57113

V.

e

phi=ArcCos(1/3)

ArcTan[(1/329 )(729 - 460 Sqrt[2])]

5 Pi / 4 - 3 phi

ArcTan[(1/7) (9 + 4 Sqrt[2])],

3 * Pi / 4 - phi.

Atenciosamente, Vladeta "

Na semana seguinte, V. Jovovic também escreveu:

ArcTan[(1/7) (-9 + 4 Sqrt[2])]

Pi / 4-phi

ArcTan[(1/7) (-3 + Sqrt[2])]

Pi / 8-phi / 2

ArcSin[(1/6) (4 + Sqrt[2])]
= 3*Pi/4 - phi

e

ArcCsc[3/17 Sqrt[52 + 14 Sqrt[2]]]

5 * Pi / 8-phi

ArcTan[7/(3 + Sqrt[2])]

Pi / 8 + phi / 2

ArcTan[1/(3 + Sqrt[2])]

• Pi / 8 + phi / 2

ArcCsc[Sqrt[6 (2 + Sqrt[2])]]

5 * Pi / 8-phi

Embora esta correspondência por e-mail de 2008 tenha sido claramente central para a obtenção da fórmula indicada (para a qual uma demonstração do Mathematica é solicitada), atualmente não está claro para mim de que maneira os resultados discutidos lá foram obtidos e posteriormente empregados. (Além disso, aparentemente esta correspondência de 2008 foi continuada depois (!) Que eu consegui realizar a integração 3D desejada e tive um resultado para o qual alguma simplificação - usando as transformações de Jovovic - foi possível.)

Answer 1

Agora isso está mais perto de uma resposta, pois tentei seguir a boa sugestão de @UlrichNeumann sobre dividir a integração em partes.

Eu mudei as variáveis subscritas para x, ye zpara aliviar a carga de texto. As restrições na Boolefunção podem ser escritas como

1 > x > y > z > 0 && z > 1 - x - y - z && x - z < 2 Sqrt[y (1 - x - y - z)]

Se Reduceé usado neste

Reduce[1 > x > y > z > 0 && z > 1 - x - y - z && x - z < 2 Sqrt[y (1 - x - y - z)]]

pode-se ver 5 integrações mutuamente exclusivas a serem realizadas:

c1 = 1/8 (2 - Sqrt[2]) < z <= 1/6 && 1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2] < y <= 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c2 = 1/8 (2 - Sqrt[2]) < z <= 1/6 && 1/2 (1 - 2 z) < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c3 = 1/6 < z <= 1/4 && z < y <= 1/2 (1 - 2 z) && 1 - y - 2 z < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c4 = 1/6 < z <= 1/4 && 1/2 (1 - 2 z) < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];
c5 = 1/4 < z < 1/3 && z < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z];

As integrações terminadas xe ypodem ser escritas da seguinte forma:

(* Define the integrand *)
integrand = 9081072000 (x - y)^2 (x - z)^2 (y - z)^2 (-1 + 2 x + y + z)^2 (-1 + x + 2 y + z)^2 (-1 + x + y + 2 z)^2;

(* Initial integrations *)
a1 = Integrate[integrand, {y, 1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2], 1/2 (1 - 2 z)}, {x, 
   1 - y - 2 z, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/6}];(* Around 6 minutes *)
a2 = Integrate[integrand, {y, 1/2 (1 - 2 z), (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/6}]; (* Around 4 minutes *)
a3 = Integrate[integrand, {y, z, 1/2 (1 - 2 z)}, {x, 1 - y - 2 z, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/6 < z < 1/4}];
a4 = Integrate[integrand, {y, 1/2 (1 - 2 z), (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/6 < z < 1/4}]; (* Around 3 minutes *)
a5 = Integrate[integrand, {y, z, (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2]}, {x, 
   y, -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]},
  Assumptions -> {1/4 < z < 1/3}]; (* Around 5 minutes *)

Agora, algumas simplificações são necessárias para as integrais que o Mathematica e o Rubi não tratam diretamente:

(* Simplification rules *)
(* These can be shown to be true (or at least reasonable) by looking at Series[...,{z,0,10}] *)
(* These are the terms that Mathematica and Rubi can't handle directly *)
rules = {Sqrt[(-1 + 2 z) (-1 + z + 2 Sqrt[(1 - 2 z) z])] -> 1 - 2 z - Sqrt[(1 - 2 z) z],
   Sqrt[-z (-1 + z + 2 Sqrt[(1 - 2 z) z])] -> Sqrt[(1 - 2 z) z] - z,
   Sqrt[(1 + z) (2 - z + 2 Sqrt[1 - z - 2 z^2])] -> 1 + z + Sqrt[1 - z - 2 z^2],
   Sqrt[(-1 + 2 z) (z - 2 (1 + Sqrt[1 - z - 2 z^2]))] -> 1 - 2 z + Sqrt[1 - z - 2 z^2]};

Combine em 3 integrandos com o mesmo intervalo de valores para z

integrandA = Expand[Expand[a1 + a2] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
integrandB = Expand[Expand[a3 + a4] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
integrandC = Expand[Expand[a5] /. rules] /. Sqrt[(1 - 2 z) z^k_] -> z^((k - 1)/2) Sqrt[(1 - 2 z) z];
  

Todos os 3 integrantes têm uma estrutura comum e coeficientes compartilhados que podem ser escritos da seguinte forma:

$$\text{Integral of integrandA}=\sum_{i=0}^{14} c_{A,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz+ \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

$$\text{Integral of integrandB}=\sum_{i=0}^{14} c_{B,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

$$\text{Integral of integrandC}=\sum_{i=0}^{14} c_{C,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz$$

Portanto, como alguns dos coeficientes são compartilhados, pode-se simplificar um pouco o total executando integrações que vão de {z,1/6, 1/3}e {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/3}. A razão para fazer isso é que o resultado está em uma forma muito mais simples. O seguinte é o integral final:

$$\begin{multline} \sum_{i=0}^{14} c_{A1,i}\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i dz + \sum_{i=0}^{14} c_{B,i}\int\limits_{1/6}^{1/4}z^i dz + \sum_{i=0}^{14} c_{C,i}\int\limits_{1/4}^{1/3}z^i dz + \\ \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/6}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz- \sum_{i=5}^{13}d_i\int\limits_{1/6}^{1/3}z^i \sqrt{(1-2z)z}dz+ \sum_{i=5}^{13}e_i\int\limits_{\frac{2-\sqrt{2}}{8}}^{1/3}z^i \sqrt{1-z-2z^2}dz \end{multline} $$

Em termos de Mathematica (o que pode mostrar minha falta de habilidade em extrair as peças adequadas):

(* Now collect integrand terms to allow for combining ranges of z *)
i1 = integrandA /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i2 = integrandB /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i3 = integrandC /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0 /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0;
i4 = integrandA - (integrandA /. Sqrt[(1 - 2 z) z] -> 0);
i5 = integrandA - (integrandA /. Sqrt[1 - z - 2 z^2] -> 0);
s1 = Integrate[i1, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/6}] // Expand // FullSimplify;
s2 = Integrate[i2, {z, 1/6, 1/4}] // Expand // FullSimplify;
s3 = Integrate[i3, {z, 1/4, 1/3}] // Expand // FullSimplify;
s4 = Integrate[i4, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/6}] // Expand // FullSimplify;
s5 = -Integrate[i4, {z, 1/6, 1/3}] // Expand // FullSimplify;
s6 = Integrate[i5, {z, 1/8 (2 - Sqrt[2]), 1/3}] // Expand // FullSimplify;
total = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 // FullSimplify

(* (746624752335 Sqrt[2] π - 4 (-478438654768 + 390931471584 Sqrt[2] + 
    497749834890 Sqrt[2] ArcCsc[3] + 
    497749834890 Sqrt[2] ArcSec[Sqrt[3]] - 
    248874917445 Sqrt[2] ArcSin[1/6 (4 - Sqrt[2])]))/31850496 *)

N[s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6, 50]
(* 0.0036582630543034854603976004088368426270721405774277 *)

Um pouco mais de simplificação para os termos trigonométricos:

ArcCsc[3] = π/2-ϕonde ϕ=ArcCos[1/3], ArcSec[Sqrt[3]]=π/2 - ϕ/2e ArcSin[1/6 (4 - Sqrt[2])] = -π/4 + ϕ. Isso simplifica o resultado para

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3072529845 π)/(32768 Sqrt[2]) +
  (1024176615 ArcCos[1/3])/(4096 Sqrt[2])

ou

$$\frac{29902415923}{497664}-\frac{50274109}{512 \sqrt{2}}-\frac{3072529845 \pi }{32768 \sqrt{2}}+\frac{1024176615 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)}{4096 \sqrt{2}}$$

Answer 2

Bem (de forma alguma uma resposta real), aqui está um primeiro passo interessante para o que parece ser um problema muito assustador (mas aparentemente resolvível). (Além disso, devido às restrições sociais atuais, meus recursos de computador pessoal / doméstico são mínimos.)

Se realizarmos

T = CoefficientList [Numerator [integrand2], x]

onde, conforme indicado na pergunta,

    integrand2 = (9081072000 (1 + x)^8 (x - y)^2 (1 - 2 z)^2 (y - z)^2 (-1 + y + z)^2 (z + x (-1 - y + z))^2 (-1 + z + x (y + z))^2)/((1 + 2 x)^16 (1 + y)^15)  

é o integrando irrestrito fornecido por N. Tessore, obtemos

Dimensions[T][[1]] = 15 .

Agora, usando os limites de integração simplificados sobre $x$

{x,y,(4 y + z - 3 y z - z^2 + 2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}

fornecido por JimB em seu comentário à questão, o comando (consultar a estrutura completa - especificamente, o denominador - do integrando2)

W = Integrate[x^i/(1 + 2 x)^16, {x, y, (4 y + z - 3 y z - z^2 + 
  2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}, Assumptions -> 1/2 < z < 1 && z < y < 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z && i >= 0]

curiosamente produz

R  =    (1/1307674368000)(( 638512875 y^(-15 + i) Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -(1/(2 y))])/(32 (15 - i)) + (1/(32 (15 - i))) 638512875 E^(-I i \[Pi]) (-1 + y + z)^(30 - 2 i) (-4 y - 2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - 2 Sqrt[y (1 - z)] - z + 3 y z + z^2)^(-15 + i)Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, (-1 + y + z)^2/(2 (-4 y - 2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - 2 Sqrt[y (1 - z)] - z + 3 y z + z^2))])

Usando Simplify (não tenho certeza se FullSimplify seria produtivo - mas apenas tentei brevemente), isso se torna

 S =   (1/(65536 (15 - i)))(y^(-15 + i) Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -(1/(2 y))] + E^(-I i \[Pi]) (-1 + y + z)^(30 - 2 i) (-2 y^(3/2) Sqrt[1 - z] - z + z^2 + y (-4 + 3 z) - 2 Sqrt[y - y z])^(-15 + i)Hypergeometric2F1[16, 15 - i, 16 - i, -((-1 + y + z)^2/(y (8 - 6 z) + 4 y^(3/2) Sqrt[1 - z] + 2 z - 2 z^2 + 4 Sqrt[y - y z]))])

Para $i=0,\ldots,14$, obtemos, ao que parece, funções racionais - que precisam ser somadas - de $y$ e $z$.

Então, pelo menos conceitualmente,

Sum[T[[i]] S/(1+y)^{15}, {i, 0, 14}]

produz o resultado do exterior das três integrações necessárias. Acabei de fazer a soma indicada [LeafCount de 131971], seguida de Juntos [LeafCount 61470], com denominador

40040 (1 + 2 y)^15 (1 + 6 y + y^2 + 4 y^(3/2) Sqrt[1 - z] + 4 Sqrt[-y (-1 + z)] - 4 y z - z^2)^15

Simplificar no numerador fornece LeafCount de 28806. FullSimplify neste resultado fornece apenas LeafCount de 28770.

Estendendo a abordagem acima, eu apenas tentei

WW = Integrate[x^i y^j/((1 + y)^(15) (1 + 2 x)^(16)), {y, z, 2 + 2 Sqrt[1 - z] - z}, {x, y, (4 y + z - 3 y z - z^2 + 2 (1 + y) Sqrt[y - y z])/(-1 + y + z)^2}, Assumptions -> 1/2 < z < 1 && i >= 0 && j >= 0]

para ver se as duas - em oposição a apenas uma - integrações externas poderiam ser realizadas da mesma forma. Mas sem sucesso (retornou sem avaliação).

Também pode tentar a última integração dupla para valores específicos de i e j, $i=0,\ldots,14$, $j=0,\ldots,10$.

---

Eu apenas tive uma ocorrência bizarra. Comecei um novo kernel, entrei no integrand2 e

 T   = CoefficientList[Numerator[integrand2], x]

como anteriormente, e por algum motivo desconhecido, obtive um PolynomialReduce (um comando que nunca usei e realmente não entendo) resultado

{{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 9081072000 y^4 z^2-18162144000 y^5 z^2 + 9081072000 y^6 z^2 - 18162144000 y^3 z^3 -36324288000 y^4 z^3 + 108972864000 y^5 z^3 - 54486432000 y^6 z^3 [phone] y^2 z^4 + 127135008000 y^3 z^4 - 9081072000 y^4 z^4 -236107872000 y^5 z^4 + 118053936000 y^6 z^4 - 72648576000 y^2 z^5 -345080736000 y^3 z^5 + 236107872000 y^4 z^5 + 217945728000 y^5 z^5 -108972864000 y^6 z^5 + 236107872000 y^2 z^6 + 454053600000 y^3 z^6 -417729312000 y^4 z^6 - 72648576000 y^5 z^6 + 36324288000 y^6 z^6 -399567168000 y^2 z^7 - 290594304000 y^3 z^7 + 290594304000 y^4 z^7 + 372323952000 y^2 z^8 + 72648576000 y^3 z^8 - 72648576000 y^4 z^8 - 181621440000 y^2 z^9 + 36324288000 y^2 z^10}

????????

Answer 3

A resposta de JimB baseou-se na transformação obtida por N. Tessore pela qual o problema de integração originalmente restrito pode ser convertido em um irrestrito.

Como a análise original relatada no artigo de 2009 prosseguiu com o problema restrito (a transformação de Tessore foi relatada apenas recentemente), permaneceu uma questão de alguma curiosidade - pelo menos para mim - sobre como alguém poderia proceder permanecendo dentro da estrutura restrita.

Prosseguindo, executei o comando (usando a transformação {Subscript[\[Lambda], 1] -> x, Subscript[\[Lambda], 2] -> y, Subscript[\[Lambda], 3] -> z} nas variáveis ​​originais),

GenericCylindricalDecomposition [x> y && y> z && z> 1 - x - y - z && x - z <2 Sqrt [y (1 - x - y - z)], {z, y, x}] [ 2 ]

(onde a restrição original é o primeiro argumento).

Isso rendeu

(1/8 (2 - Sqrt[2]) < z < 1/
6 && ((1 - z - 2 Sqrt[z - 2 z^2] < y < 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < 
    x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]) || (1/2 (1 - 2 z) < 
    y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]))) || (1/6 < z < 1/
4 && ((z < y < 1/2 (1 - 2 z) && 
   1 - y - 2 z < 
    x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]) || (1/2 (1 - 2 z) < 
    y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && 
   y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z]))) || (1/4 < z < 1/3 && z < y < (2 - z)/9 + 2/9 Sqrt[1 - z - 2 z^2] && y < x < -2 y + z + 2 Sqrt[y - 2 y z])

Usando este resultado como a restrição em uma integração dupla subsequente sobre {x, 0,1} seguido por {y, 0,1}, deu um resultado em z, que eu expandi, e então ao qual apliquei termo por termo a função

denestSqrt[e_, domain_, x_] := Replace[
y /. Solve[Simplify[Reduce[Reduce[y == e && domain, x], y, Reals], domain], y],
{
{r_} :> r,
_ -> e
}]

dada por Carl Woll em sua resposta a denestSqrt . Os 231 termos individuais obtidos foram, então, cada um integrado sobre z em relação a qual dos três intervalos ([1/8 (2 - Sqrt 2 ), 1/6 ], [1 / 6,1 / 4], [1/4 , 1/3]) de z dentro do qual caíram.

Executando Expand [FullSimplify [Together []]] na soma das 231 integrações resultantes produzidas (LeafCount = 222)

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3619006726645466935245 \[Pi])/(82688 Sqrt[2]) + (926465722021570344469365 ArcCot[Sqrt[2]])/(2646016 Sqrt[2]) - (926465722020908726376075 ArcCot[3 + Sqrt[2]])/(2646016 Sqrt[2]) + (1024176615 ArcTan[2/Sqrt[5]])/(16384 Sqrt[2]) + (48882576431592402695 ArcTan[5/(2 Sqrt[14])])/(194055791689728 Sqrt[2]) - (1861973732913175 Sqrt[2]ArcTan[(4 - Sqrt[2])/Sqrt[18 + 8 Sqrt[2]]])/11844225567 - (48882576431592402695 ArcTan[(20 + 5 Sqrt[2] + 4 Sqrt[7] - 8 Sqrt[14])/Sqrt[1458 + 248 Sqrt[2] + 280 Sqrt[14]]])/(194055791689728 Sqrt[2]) + (1024176615 I Log[1/81 (-46 + 10 Sqrt[10] + I Sqrt[5 (689 + 184 Sqrt[10])])])/(16384 Sqrt[2])

que coincide - usando o critério (sugerido por Bob Hanlon em seu comentário no Block Block [{$ MaxExtraPrecision = 1000}, ans1 - ans2 // N [#, 1000] &] - com a resposta final muito mais simples (LeafCount = 36) de JimB.

29902415923/497664 - 50274109/(512 Sqrt[2]) - (3072529845 π)/(32768 Sqrt[2]) +(1024176615 ArcCos[1/3])/(4096 Sqrt[2]) .

Os primeiros dois termos de ambas as expressões correspondem.

Portanto, os últimos oito termos do primeiro resultado devem ser simplificáveis ​​para os dois últimos termos da última resposta.

No entanto, a função denestSqrt - além da transformação de Tessore - não era conhecida por mim em 2009, então ainda permanece um enigma sobre como essa integração 3D restrita foi totalmente realizada. (O resultado também deve ter sido bastante complicado - como indicado pela correspondência subsequente, observada na formulação da pergunta, com V. Jovovic a respeito das transformações baseadas na relação cos (n * phi) = a (n) / 3 ^ n, onde phi = ArcCos (1/3).)