Como você pode concluir que a gravidade é uma força conservadora?
Um campo de força $F_i(x)$ é conservador se para cada curva $C$ de um ponto $y_1$ até um ponto $y_2$, temos $\int\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i$, de modo que a diferença de energia entre $y_1$ e $y_2$é independente da curva feita de um para o outro. De forma equivalente, a integral em torno de uma curva fechada deve ser zero,$\oint\limits_C F_i(x)\mathrm{d}x^i=0$ para cada curva fechada $C$.
Esta é a definição de força conservadora. Ok, eu concordo, mas o que não consigo entender é como você verificou que entre dois pontos em um campo gravitacional o trabalho feito para mover um objeto de um ponto a outro é independente do caminho, quero dizer, há literalmente um número infinito de caminhos que nós pode haver entre esses dois pontos então Como podemos dizer que é independente do caminho?
Como você chegou à conclusão de que a gravidade é uma força conservadora?
Respostas
Você está procurando uma prova matemática (que foi fornecida por outros) ou uma demonstração experimental?
Se a gravidade não for conservadora, isso significa que haveria dois caminhos para subir uma montanha que requerem diferentes quantidades de energia para ascender (atrito excluído).
Então, se você começou em uma bicicleta no topo, você poderia rodar livremente no caminho de alta energia, então descer o caminho de baixa energia e quando você voltasse ao topo, você ainda teria algum excesso de energia (você ainda estaria se movendo). Você poderia dar a volta novamente e ficar ainda mais rápido. E de novo e de novo, ganhando energia livre o tempo todo.
Você pode ver que outra lei de conservação você está violando aqui?
O teorema de Stokes nos diz que, para qualquer campo vetorial, a integral de linha fechada desse campo é igual à integral de superfície da curvatura desse campo sobre qualquer superfície limitada pelo circuito fechado. Neste caso, para um campo gravitacional$$\oint \vec{g}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla \times \vec{g})\cdot d\vec{A}.$$
Claramente, o LHS desta equação seria o trabalho realizado (por unidade de massa) ao mover um objeto em torno de um circuito fechado em um campo gravitacional.
Mas $$\vec{g} = \frac{GM}{r^2} \hat{r}$$ em coordenadas esféricas, onde $\hat{r}$é um vetor unitário na direção radial. Tomando a curva deste campo em coordenadas esféricas , então porque não há$\theta$ ou $\phi$ componentes e $g_r \neq f(\theta, \phi$), $$\nabla \times \vec{g}=0.$$ Dado isso, então o RHS do teorema de Stokes é sempre zero e o trabalho realizado pelo campo gravitacional em torno de um caminho fechado é sempre zero.
Observe que o mesmo argumento se aplica a qualquer força central simétrica
O campo de força devido a um pequeno elemento de massa (que podemos pensar como uma massa pontual) é esfericamente simétrico e central, o que o torna um campo conservador. Para o caso de campo devido a uma massa de ponto, considere resolver cada segmento minúsculo de seu caminho em 2 componentes, um ao longo da direção radial e outro ao longo da direção circular. O trabalho só é feito quando você viaja ao longo dos componentes radiais do caminho, porque é onde a força está ao longo do caminho. Nenhum trabalho é feito ao longo do componente circular do caminho porque a força é perpendicular ao deslocamento.
Agora você pode seguir qualquer caminho para ir do ponto A ao ponto B, mas não importa o caminho que você tomar, os componentes radiais do deslocamento e sua força correspondente ao longo desse deslocamento serão os mesmos (por causa da natureza central e esfericamente simétrica do campo), e podemos, portanto, concluir que a mudança na energia potencial não depende do caminho.
O campo gravitacional de um objeto contínuo é apenas a soma vetorial de todos os campos devido aos elementos de massa individuais e, portanto, também é conservador, embora os dois campos (de uma massa pontual e de um corpo estendido) possam parecer bastante diferentes.
A definição de uma força conservadora veio após a observação da conservação da energia e do acúmulo de dados para o campo gravitacional.
Como você chegou à conclusão de que a gravidade é uma força conservadora?
Primeiro, aceita-se a conservação da energia e a prova de que em um campo gravitacional a energia potencial de um objeto é fixada por sua posição. Veja a hidroeletricidade. Não importa o caminho que a água percorreu para entrar na barragem, a energia que ela pode dar é fixada pela altura da barragem para a usina hidrelétrica.
Pode-se ver isso modelando matematicamente todos os caminhos diferentes que um objeto pode seguir para ser encontrado em uma altura h com a energia potencial fixa.
Uma força conservadora depende apenas da posição do objeto. Se uma força é conservadora, é possível atribuir um valor numérico para o potencial em qualquer ponto e, inversamente, quando um objeto se move de um local para outro, a força altera a energia potencial do objeto em uma quantidade que não depende de o caminho percorrido, contribuindo para a energia mecânica e a conservação global da energia. Se a força não for conservadora, então definir um potencial escalar não é possível, porque tomar caminhos diferentes levaria a diferenças de potencial conflitantes entre os pontos inicial e final.
Apenas mostre isso $F_idx^i$ é derivada total, ou seja, $F_idx^i=dW$. Então a integral do caminho se reduz a$\int_C dW$, que é independente do caminho e depende apenas do ponto inicial e final.
Então: $$F_idx^i=-G\frac{mM}{r^3}\left(xdx+ydy+zdz\right)=-G\frac{mM}{2r^3}d\left(x^2+y^2+z^2\right)=-G\frac{mM}{r^2}dr.$$ Como isso é da forma $f(r)dr$, é de fato uma derivada total.