Dummit e Foote: “extensões” de uma função

Question

Dummit e Foote definem uma extensão de uma função da seguinte forma.

Se$A \subseteq B$e$g: A \to C$e existe uma função$f: B \to C$de tal modo que$f \mid _A = g$, diremos que$f$é uma extensão de$g$para$B$(tal mapa$f$não precisa existir nem ser único.)

Não compreendo, em particular, a noção de que$f$pode não existir. Tentei considerar um caso extremo em que$ g(a) = \frac{1}{a}$, o que é claramente$g$é indefinido em$0$, então podemos ter$0 \in B \setminus A$. No entanto, posso definir$f$por partes, digamos,$f(b) = \frac{1}{b}$E se$b \in A$e$f(b) = 5$E se$b \in B \setminus A$. Esta função é bem definida e, quando restrita a$A$, é a mesma função que$g$.

Existe uma maneira onde isso$f$não pode existir?

Answer 1

Em função de conjuntos, a única situação em que$f$não existe é quando$A=C=\emptyset\neq B$, mas isso usa o fato de a função vazia$g=\emptyset$é a única função permitida a ter um contradomínio vazio, então é sem dúvida o mais ousado dos casos extremos.

Na maioria das vezes, no entanto, não estamos interessados ​​apenas em funções, mas sim em mapas em uma determinada categoria. Por exemplo:

• Funções contínuas entre espaços topológicos
• Homomorfismos de anel entre anéis
• Homomorfismos de grupo entre grupos

Nesse caso,$g$pode ser uma função não trivial de um determinado tipo, mas não$f$do mesmo tipo existe estendendo$g$para$B \supset A$.

Considerando o seu exemplo a esta luz,$g : \mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}$é uma função contínua entre os dois espaços, mas não há função contínua$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$estendendo$g$.

Answer 2

Estou surpreso que o símbolo de subconjunto adequado não seja usado. Essa definição parece permitir$A=B$e assim$g$é uma extensão de$g$em si, caso em que uma extensão deve existir se$g$existe.