Encontre uma base para o kernel da transformação Linear fornecida.

Question

Deixei $n$ seja um número inteiro positivo e deixe $V$ seja o espaço de polinômios reais cujo grau não exceda $n$. Considere o mapa$f: V\mapsto V$, $f(P(X))= P(X)+ (1-X)P'(X)$ Onde $P'(X)$ é a derivada de $P$. Dê uma base para o kernel de$f$.

[Fiquei confuso com todos os termos envolvidos na solução, minha afirmação está correta?]

Afirmação :$Ker(f) = 0$

Deixei $P(X)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_2x^2 + a_1x+a_0$. $P'(X) = na_nx^{n-1}+ (n-1)a_{n-1}x^{n-2} +....a_1$ Para $f(P(X))=0(X)$, Onde $0(X)$é um polinômio zero. o que implica mais$P(X) +(1-X)P'(X) =0$ ie $P(X)=(X-1)P'(X)\implies a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +...+a_2x^2 + a_1x+a_0 =na_nx^{n}+ [(n-1)a_{n-1} -na_n]x^{n-1} + [(n-2)a_{n-2} -(n-1)a_{n-1}]x^{n-2}....[a_1-2a_2]x - a_1$

Comparando coeficientes, temos $a_n = na_n,a_{n-1}=(n-1)a_{n-1} -na_n,...,a_1= a_1-2a_2$ e $a_1 = a_0$

E se $n\neq 1$ então todos os coeficientes são iguais $0$ de outra forma $P(X) = a(X-1)$ para alguns $a\in \mathbb {R}$ Portanto $span(X-1)= Ker(f)$

Answer 1

Observe que pelo comentário de Bungo, $\;Q(x)\in\ker f\implies Q(x)=ax+b\,,\,\,a,b\;$ escalares, e então se assumirmos que $\;Q(x)=ax+b\in\ker f\;$ , Nós temos

$$0=f(ax+b)=(ax+b)+(1-x)a=a+b\implies b=-a\implies$$

$$Q(x)=ax-a=a(x-1)\in\text{Span}\,\{1-x\}:=\left\{\;p(x)\in V\;|\;p(x)=k(1-x)\;,\;\;k\in\Bbb R\;\right\}$$

Portanto, $\;\ker f=\text{Span}\,\{1-x\}\;$ e nós obtemos $\;\;\dim\ker f=1\;$ ...

Outra maneira: suponha que temos

$$p(x)\in\ker f\iff f(x)=-(1-x)p'(x)$$

a última igualdade é polinomial e, portanto, permanece verdadeira sob qualquer substituição de $\;x\;$. Assim, substituímos

$$x=1\implies p(1)=-(1-1)p'(1)=0\implies p(1)=0\stackrel{\text{Residue theorem for pols.}}\iff $$

$$\iff(1-x)\mid p(x)\iff p(x)=(1-x)q(x)\,,\,\,\text{for some}\;\;q(x)\in V$$

e assim obtemos isso $\;p(x)\;$é um múltiplo polinomial de$\;1-x\;$. Aplicamos agora, mais uma vez, a observação feita por Bungo nos comentários e entendemos que desde$\;\deg p(x)\le 1\;$ então deve ser $\;\deg q=0\iff q(x)=a\in\Bbb R\;$ , é um escalar ... e podemos terminar como acima.

Answer 2

A solução para $$\frac{p'(x)}{p(x)}=\frac{1}{x-1}$$ é facilmente calculado: $c(x-1)$.