equação de onda PDE

Question

Resolva o problema do valor limite inicial

\ begin {eqnarray} u_ {tt} & = & u_ {xx} + u_t ~~ \ mbox {in} ~~ (0, \ ell) \ times (0, \ infty), \\ u (0, t) & = & u (\ ell, t) ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ infty), \\ u (x, 0) & = & \ sin x, ~ u_t (x, 0) = \ cos x ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ ell). \ end {eqnarray}

Minha tentativa:

Eu apliquei diretamente a separação de variáveis, não fui capaz de obter a transformação para que pudesse ser convertida para $$w_{tt} = w_{xx}$$e resolvi o ODE de segundo grau do Time usando a equação característica. Usei as condições de limite, mas quando tento implementar o intital, não tenho certeza de como implementar a última condição.

Meu formulário até agora após a aplicação de BCs: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n\pi x/l)[c_1 e^{\frac t2(1+\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})} + c_2 e^{\frac t2(1-\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})}]$$

Answer 1

Até agora você tem

$$ u(x, t) = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\left[ A_n e^{\lambda_+ t} + B_n e^{\lambda_- t} \right] \tag{1} $$

Onde

$$ \lambda_\pm = \frac{1}{2}\left[1 \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2n\pi}{l}\right)^2}\right] $$

Agora considere as condições iniciais

$u(x, 0)$

Substituindo isso em (1) você obtém

$$ \sin x = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) [A_n + B_n] $$

e daqui

\ begin {eqnarray} \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \ sin x & = & \ sum_n [A_n + B_n] \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {n \ pi x} {l} \ right) \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \\ & = & \ sum_ {n} [A_n + B_n] \ esquerda (\ frac {l} {2} \ delta_ {mn} \ direita) \\ & = & \ frac {l} {2} (A_m + B_m) \ \ & = & \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ cos (m \ pi) \ sin l \\ & = & (-1) ^ m \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ sin l \ end {eqnarray}

Então, em resumo

$$ A_m + B_m = (-1)^m\frac{2 m \pi}{l^2 - m^2\pi^2} \sin l \tag{2} $$

$u_t(x, 0)$

Vou deixar este para você, você deve obter algo como

$$ \lambda_+ A_m + \lambda_- B_m = \cdots \tag{3} $$

As Equações (2) e (3) podem ser resolvidas para encontrar $A_n$ e $B_n$