Exclusividade do Pushforward de um mapa suave

Question

Abaixo está o que eu perguntei originalmente. Editei minha pergunta graças ao 0º usuário. Vou adicionar uma nova pergunta após a pergunta original.

(Pergunta original :)

Deixei $M, N$ seja uma variedade de dimensões suaves $m,n$respectivamente. Suponha$F: M \rightarrow N$é suave. Para$p \in M$, deixei $(U_1,\varphi_1)$ e $(U_2, \varphi_2)$ ser gráficos sobre $p$, e para $F(p) \in N$, deixei $(V_1, \psi_1)$ e $(V_2, \psi_2)$ ser gráficos sobre $F(p)$. Por conveniência, suponha$V_1 \supset F(U_1)$ e $V_2 \supset F(U_2)$.

Agora, defina $\tilde F_1:= \psi_1 \circ F \circ \varphi_1^{-1}: \varphi_1(U_1) \rightarrow \psi(V_1)$, e definir $\tilde F_2$Da mesma forma. Então, tenho a garantia de que$\tilde F_1 = \tilde F_2$? Nesse caso, gostaria de receber uma pequena explicação.

(Voltar para a nova pergunta :)

Se representação de $\tilde F_1$ e $\tilde F_2$ não é único, então há uma razão para acreditar que pushfoward $F_*$é único? Aprendi na aula que a representação matricial de$F_*$ é o mesmo que a representação de matriz de $(\tilde F_1)_*$ e $(\tilde F_2)_*$, e se $\tilde F_1$ não corresponde $\tilde F_2$, então não há razão para acreditar na singularidade de $F_*$.

Answer 1

Lembre-se disso $F_*$é definido como mapa em espaços tangentes, portanto, você precisa usar os gráficos para colocar coordenadas nos espaços tangentes também. Você tem que simplesmente desenrolar tudo isso para ver que$F_*$ é de fato bem definido.

Vou assumir que $\phi_i(p) = \psi_i(f(p))=0$Por conveniência. Lembre-se disso$F_{*p}\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ está definido para ser $(\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p}$. Você está se perguntando por que isso é igual a$(\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_2)_{*p}$.

Neste ponto, ajudará a desenhar alguns diagramas ("quadrados comutativos") seguindo os mapeamentos que eu apresento. Deixei$\phi_{12} = \phi_1\circ\phi_2^{-1}\colon \phi_2(U_1\cap U_2)\to \phi_1(U_1\cap U_2)$ e da mesma forma para $\psi_{12}$. Então$\tilde F_1 = \psi_{12}\circ\tilde F_2\circ\phi_{12}^{-1}$. (Certifique-se de resolver isso cuidadosamente por si mesmo.) Portanto (respire fundo!)\begin{align*} (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} &= (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\psi_{12})_{*0}\circ(\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_{12}^{-1})_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} \\ &= (\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ (\phi_2)_{*p}, \end{align*} como requerido.