Exercício Hartshorne II.4.5 (c)

Question

Deixei $X$ ser um esquema integral de tipo finito sobre um campo $k$, tendo campo de função $K$. Dizemos que uma avaliação de$K/k$ tem centro $x$ em $X$ se seu anel de valorização $R$ domina o anel local $O_{x,X}$.

Na parte (c) da questão, somos solicitados a mostrar se toda avaliação de $K/k$ tem um centro único em $X$, então $X$ é adequado ao longo $k$.

Estou ciente de que esta pergunta foi feita no Exercício II.4.5 (c) de Hartshorne e também encontrei uma solução emhttps://en.wikibooks.org/wiki/Solutions_to_Hartshorne%27s_Algebraic_Geometry/Separated_and_Proper_Morphisms#Exercise_II.4.5.

Parece-me que, ao usar a indução, essa questão se resume a mostrar que, para qualquer subesquema fechado reduzido irredutível, $Z$, do $X$, $Z$ satisfaz as condições de $X$.

Ou seja, quero mostrar se toda avaliação de $K/k$ tem um centro único em $X$ e $L$ é o campo de função de $Z$, então toda avaliação de $L/k$ tem um centro único em $Z$.

Como faço para mostrar isso?

Answer 1

Editar . Este argumento está atualmente incompleto: não prova que$x$ um centro para $T$ implica que $x\in Z$ e $x$ é um centro para $R$, apenas que se uma avaliação sobre $Z$tem um centro, é único. Mas parece que essa técnica deve funcionar! Se alguém puder ajudar a preencher as lacunas que faltam (ou fornecer outra solução), eu gostaria de ouvir de você. Estou deixando isso em vez de excluí-lo na esperança de que seja útil para alguém em algum momento.

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Deixei $z$ seja o ponto genérico de $Z$, $L$ o campo de função de $Z$, e deixar $R$ ser um anel de avaliação para $L/k$. Desde a$L$ é um quociente de $\mathcal{O}_{X,z}$, podemos encontrar um anel $S\subset \mathcal{O}_{X,z}$ de modo a $S/\mathfrak{m}_z=R$. Por um argumento do lema de Zorn padrão, podemos encontrar um anel local$T$ máximo no que diz respeito à inclusão entre os anéis locais contendo $S$ de modo a $T$ é um anel de avaliação para $K/k$. Então se$z_0\in Z$ é um centro para $R$, nós temos isso $z_0\in X$ é um centro para $T$, então qualquer avaliação soa $Z$ tem um centro único.

No entanto, isso é quase o mesmo que uma prova não indutiva: dado um anel de avaliação $Q$ com campo de fração $M$ e mapas $\operatorname{Spec} M\to X$, $\operatorname{Spec} Q\to \operatorname{k}$ com a imagem de $\operatorname{Spec} M$ sendo o ponto $z$, então podemos obter um anel de avaliação $R$ para $L$ através da interseção de $Q$ com $L\subset M$. A partir daí, unicidade / unicidade + existência de centros implica em separado / próprio por meio dos critérios valorativos pelo argumento do primeiro parágrafo.