Existem infinitos primos na forma 5k-1.

Question

Esta pergunta foi feita em meu teste de teoria dos números e eu não consegui resolvê-la.

Prove que existem infinitos primos na forma 5k-1.

O professor foi gentil o suficiente para dar uma dica para considerar $5(n!) ^{2} -1$ .

Eu provei que qualquer divisão primária $5(n!) ^{2} -1$deve ser maior que n, mas não consigo pensar em nada. Mesmo eu não consigo pensar ao longo das linhas$x^{2} \equiv a$(mod p) pois 5 está lá junto com o quadrado de n! .

É meu humilde pedido a você para lançar alguma luz sobre esta questão.

É um primeiro curso sobre teoria dos números e contém apenas teoria dos números elementares.

Answer 1

Suponha que houvesse apenas um número finito de números primos na forma $5k-1$, diga $p_1, p_2\cdots\cdots p_r$ e $p_r$é o maior. Considere o número$$N=5(p_r!)^2-1$$ Deixei $p$ ser um divisor primo de $N$. Então nós temos$$5(p_r!)^2-1\equiv0\pmod p$$ $$(5p_r!)^2\equiv 5\pmod p$$

Portanto, vemos que $\left(\frac{5}p\right)=1$. Em particular,$p\equiv \pm 1\pmod5$.

Agora, se todos os divisores primos de $N$ eram da forma $p\equiv1\pmod5$, então $N$ seria da forma $5k+1$, o que, entretanto, não é o caso.

Concluímos que pelo menos no divisor primo de $N$ é da forma $5k-1$. Observe que tal$p$ não pode ser nenhum dos $p_i$acima. Neste ponto, chegamos a um novo primo da forma$5k-1$. Contradição! BANG!

Answer 2

Um dos melhores teoremas de todos os tempos:

Teorema de Dirichlet: dado qualquer $a,b\in\mathbb{N}$ de tal modo que $\gcd(a,b)=1$, existem infinitos primos na progressão aritmética $an+b$ (e $bn+a$, obviamente); como uma reformulação, existem infinitos primos que são$\equiv b\pmod{a}$ (e vice-versa, novamente).

Lembre-se disso, é bom.

Como uma solução alternativa para o seu problema, o teorema de Wilson é muito bom para provar que para qualquer primo $p$ existem intimamente muitos primos da forma $pk-1$, mas não pode nem ser comparado a Dirichlet.