Função e limites uniformemente contínuos

Question

Pergunta: Dado que$f$é uniformemente contínua em$[0,\infty)$, mostre que$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1+x^2} = 0$.

O que eu sei:

Continuidade uniforme: Para cada$\epsilon > 0$,$\exists\,\delta > 0$tal que para todos$x,y \in [0,\infty)$, E se$|x-y| < \delta$, então$|f(x)-f(y)| < \epsilon$.

Quer mostrar:

$|\frac{f(x)}{1+x^2}| < \epsilon$Como$x \to \infty$.

Tentativa nº 1: tentei mostrar que$f$é Lipschitz, mas não parece ser o caso.

Tentativa nº 2: Tentei reescrever$|x-y| < \delta$Como$|x| - |y| < \delta$e$|f(x)-f(y)| < \epsilon$Como$|f(x)| - |f(y)| < \epsilon$para manipular a expressão, mas sem sucesso.

Também pensei em tentar mostrar que$f(x)$"move-se mais devagar" do que$1+x^2$ou$x^2$no limite, mas não sei como colocá-lo exatamente.

Qualquer ajuda será apreciada. Obrigado!

Answer 1

Desde$f$é uniformemente contínua, então para$\varepsilon=1$, existe um$\delta>0$, de tal modo que$$ |x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<1. $$Escolha$h$, com$0<h<\delta$. Assim, para cada$x>0$, definir$n=\big[\frac{x}{h}\big]$. Então$$ |f(x)-f(0)|\le |f(0)-f(h)|+|f(h)-f(2h)|+\cdots+\\|f\big((n-1)h\big)-f(nh)|+|f(nh)-f(x)| < n+1<\frac{x}{h}+1, $$e, portanto$$ \frac{|f(x)|}{1+x^2}< \frac{|f(0)|+\frac{x}{h}+1}{x^2+1}\to 0 $$Como$x\to\infty$.