O cone normal é um cone adequado

Question

Para um espaço vetorial finito $H$ definir o cone de norma $K = \{ (x, \lambda) \in H \oplus \mathbb{R} : \lVert x \rVert \le \lambda \}$ Onde $\lVert x \rVert$é alguma norma. Existem inúmeras notas de aula apontando que este é um cone convexo (como a pré-imagem de um conjunto convexo sob a função perspectiva). Na verdade, acredito que seja um cone adequado. Já que a prova disso é um tanto tediosa, há alguma referência que eu possa citar para esse fato?

Answer 1

Obviamente $K$ é convexo e fechado, pois é definido pela desigualdade $g(x,\lambda):=\|x\| - \lambda\le0$ com $g$contínua e convexa. Também tem um interior não vazio. Levar$x_0\ne0$, $\lambda_0>\|x_0\|$. Então$\|x\| < \lambda$ em um bairro de $(x_0,\lambda_0)$. E se$(x,\lambda),(-x,-\lambda) \in K$, então $0\le \|x\| \le \min(\lambda,-\lambda)$ implicando $\lambda=0$ e entao $x=0$. E$K$ é pontudo.