Problema de teoria de número modular

Question

Deixei $k\in\mathbb{N}, 2<p\in\mathbb{P}, p^{\alpha}\mid\mid n,\alpha\ge1$. Então prove isso$$1^k+2^k+\ldots+n^k\equiv\begin{cases}\hfill 0\pmod{p^{\alpha}},& p-1\nmid k\\-\frac{n}{p}\pmod{p^{\alpha}},& p-1\mid k\end{cases}$$

Em primeiro lugar, eu provei para $n=p$. E se$p-1\mid k$, então pode ser facilmente provado pelo pequeno teorema de Fermat. Deixei$p-1\nmid k$. Desde a$p$ é um primo, ele tem uma raiz primitiva $g$ e isso satisfaz $\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-2}\}=\{1,2,3,\ldots,p-1\}$. Portanto, é suficiente provar que$1+g^k+g^{2k}+\ldots+g^{(p-2)k}\equiv 0\pmod p\iff p\mid\frac{g^{(p-1)k}-1}{g^k-1}\iff p\cdot (g^k-1)\mid g^{(p-1)k}-1$. Desde a$(p, g^k-1)\neq1\iff p-1\nmid k$ e $p\mid g^{(p-1)k}-1,g^k-1\mid g^{(p-1)k}-1$, é verdade.

E eu não posso continuar isso por $n=p^{\alpha}$ (para $p-1\nmid k$, é semelhante a $n=p$. Mas eu não posso provar para$p-1\mid k$), $n=p^{\alpha}\cdot n_1$, Onde $n_1>1, (n_1,p)=1$e assim por diante. Alguém pode me ajudar?

Answer 1

Não é difícil verificar se basta mostrá-lo para $n=p^{\alpha}$.

Vamos mostrar por indução $\alpha$.

E se $\alpha=1$então funciona. Suponha que o resultado seja válido para$\alpha-1$.

Então, mod $p^{\alpha}$, $\sum_{m=0}^{p^{\alpha}-1}{m^k} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{(m+p^{\alpha-1}l)^k}} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{m^k+kp^{\alpha-1}l}}=p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k}+kp^{\alpha-1}\sum_{l=0}^{p-1}{l} = p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k} = -p \cdot p^{\alpha-1}/p = -p^{\alpha}/p$.

Answer 2

Vendo tudo como elementos de $\Bbb{Z}/p^a\Bbb{Z}$,

• E se $p-1\nmid k$ então pegue $p\nmid s, s^k \ne 1\bmod p$ $$\sum_{m\bmod p^a} m^k =\sum_{m\bmod p^a} (sm)^k=s^k\sum_{m\bmod p^a} m^k$$ o que significa que $\sum_{m\bmod p^a} m^k=0$.

• E se $p-1|k$ então pegue o maior $b$ de tal modo que $(p-1)p^b | k$, Desde a $m\to m^k$ , restrito às unidades, se sobrepõe ao subgrupo de elementos da forma $1+p^{b+1}l$ nós entendemos isso $$\sum_{m\bmod p^a} m^k=\sum_{m\bmod p^a,p\ \nmid\ m} m^k+\sum_{m\bmod p^{a-1}} (pm)^k\\=(p-1)\sum_{l\bmod p^{a-1}} (1+p^{b+1} l)+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}-p^k p^{a-2}-p^{2k} p^{a-3}-\ldots- p^{(a-1)k} p^{a-a}$$ $$ = -p^{a-1}$$