Processo de preço com desconto - martingale
Eu tenho um processo $S_{t}=S_{0}e^{\left(r-q\right)t+mt+X_{t}}$, Onde $X_t$ é um processo de Levy e quero verificar qual $m$ o processo $e^{-(r-q)t}S_t$é um martingale. A terceira condição de um martingale afirma que para$s\leq t$ $$E(e^{-(r-q)t}S_t|F_s)=e^{-(r-q)s}S_s,$$ Onde $F_s$ é a filtração gerada pelo processo $S_t$.
Muitos autores escrevem que este processo é um martingale quando $E(e^{-(r-q)t}S_t)=S_0$ ou seja, quando $m=-\frac{1}{t}\ln\left(\phi_{X_{t}}\left(-i\right)\right)$, Onde $\phi_{X_t}$ é a função característica de $X_t$.
Por que eles não condicionam $F_s$ quando verificam que o processo é um martingale?
Respostas
Um processo Lévy exponencial é normalmente modelado via$$ S_t = S_0\exp\left(\left(r-q+\omega\right)t+X_t\right),$$ Onde $X_t$é um processo Lévy com$X_0=0$. Um processo Lévy inclui três características de modelo: uma deriva linear, choques difusivos e saltos (que podem ser grandes e raros ou pequenos e frequentes). O número$\omega$é chamada de correção de martingale ou correção de Jensen e garante a propriedade de martingale .
Para que nossa teoria financeira padrão funcione, o preço das ações reinvestido e com desconto, $S_te^{-(r-q)t}$, precisa ser um martingale sob $\mathbb{Q}$(assumindo taxas de juros constantes e rendimentos de dividendos). Deixei$(\mathcal{F}_t)$ denotam a filtração natural de $X_t$. Então, para qualquer$s\leq t$, \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_0e ^ {(r-q + \ omega) t + X_s + (X_t-X_s)} | \ mathcal {F} _s] \\ & = S_0e ^ {(r-q + \ omega) t} e ^ {X_s} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q } [e ^ {X_t-X_s}] \\ & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [e ^ {X_ {ts}}] , \ end {align *} onde usamos isso$X_s$ é $\mathcal{F}_s$-mensurável e $X_t-X_s\overset{d}{=} X_{t-s}$ é independente de $\mathcal{F}_s$, veja aqui .
Deixei $\varphi_{X_t}(u)=\mathbb{E}[e^{iuX_t}]$ ser a função característica do processo de Lévy $X_t$. A fórmula de Lévy-Khintchine afirma que$\varphi_{X_t}(u)=e^{t\Psi(u)}$que decorre da divisibilidade infinita de um processo de Lévy. A função$\Psi$é chamado de expoente característico e captura os componentes de deriva, difusão e salto de$X_t$.
Então, \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} \ varphi_ {X_ {ts}} (- i) \\ & = S_s e ^ {(r-q + \ omega) (ts)} e ^ {(ts) \ Psi (-i)}. \ end {align *} Portanto, definindo$\omega=-\Psi(-i)$produz \ begin {align *} \ mathbb {E} ^ \ mathbb {Q} [S_t | \ mathcal {F} _s] & = S_s e ^ {(rq) (ts)}, \ end {align *} que em por sua vez, implica que o preço descontado das ações reinvestidas é de fato um$\mathbb{Q}$-martingale.
Observe que $$\omega=-\Psi(-i)=-\frac{1}{t}\ln\left(\varphi_{X_t}(-i)\right)$$é independente do tempo. Assim, para um processo de Lévy exponencial, a propriedade martingale é garantida para manter se você verificar que$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t]=S_0e^{(r-q)t}$.