Prova da decomposição polar

Question

Suponha $M$ é uma álgebra de von Neumann e $\phi\in M_{*}$, então existe uma isometria parcial única $v\in M$ e um funcional linear positivo $\psi\in M_{*}$ de tal modo que $\phi=v \psi$ e $v^*v=s(\phi)$, Onde $s(\phi)$ é uma projeção de suporte de $\phi$.

Para a prova, encontrei problemas. Encontrei um livro de referência que diz que "se$\phi\in M_{*}$, existe $a\in M$ com $\|a\|\leq 1$ de tal modo que $\phi(a)=\|\phi\|$". Como provar a afirmação acima.

Tenho outra pergunta sobre as projeções de suporte de um estado. E se$\phi_1$ e $\phi_2$ são dois estados de uma álgebra de von Neumann tal que $s(\phi_1)s(\phi_2)=0$, existem relações entre dois estados

Answer 1

É uma consequência direta do seguinte resultado padrão:

Resultado: se$X$ é um espaço normalizado e $x\in X$, então $$\|x\|=\max\{|\varphi(x)|:\ \varphi\in X^*,\ \|\varphi\|=1\}.$$

Aplicar isso a $X=M_*$ e $X^*=M$.

Para sua segunda pergunta, eu realmente não sei que tipo de relação você espera.