Segundo derivado implícito geral

Question

Suponha que você tenha uma função $y = y(x(t))$. Tomando a primeira derivada wrt t, obteríamos:

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt} $$

Estou um pouco preso tentando determinar a segunda derivada, mas é o que eu tenho agora:

$$ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dx}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$

Eu sei que isso não é correto, mas eu não tenho certeza do que estou perdendo.

Answer 1

Primeiro use a regra do produto para obter

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)\\\\ &=\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}\tag1 \end{align}$$

Em seguida, aplique a regra da cadeia ao segundo termo do lado direito de $(1)$ encontrar

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{dx}{dt}\tag2$$

Substituição de $(2)$ dentro $(1)$ produz o resultado desejado

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)&=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2} \end{align}$$

E nós terminamos!