Surjetividade e composição em funções

Question

Desculpe por essa pergunta muito idiota, mas não consegui encontrar uma resposta para ela.

Suponha que temos um conjunto $A$ e funções $f,g:A\to A$. Prove que se$f$ não é sobrejetora então $f \circ g$ não é sobrejetora.

Basicamente, como eu penso, para que uma função composta seja sobrejetora, ambas as funções que estão sendo compostas (neste caso, as funções $f$ e $g$) deve ser sobrejetiva.

Isso é certo ou errado? E como posso provar isso?

EDIT: Questão resolvida, verifique minha resposta.

Answer 1

A declaração é equivalente a $f\circ g$ sobrejetiva implica $f$ sobrejetiva, o que é bastante claro, uma vez que: $y\in A$, Há sim $x\in A$ st $y=f(g(x))$. Em particular, se$u=g(x)$, então $y=f(u)$. Provamos que$$\forall y\in A, \exists u\in A: y=f(u),$$ e, portanto, sobrejetividade de $f$.

Answer 2

Desde a $f$ então não é sobrejetora

$$\exists y\in A\quad \forall x\in A\quad f(x)\neq y$$

então

$$\forall x\in A\quad z=g(x)\in A\quad f(g(x))=f(z)\neq y$$

Portanto $f \circ g$ não é sobrejetora.

Answer 3

É dado que $f$não é sobrejetora. Por causa disso, existe$y \in A$ de tal forma que para cada $x\in A$ existe $f(x)\neq y$.

Então se, $f \circ g$ não é sobrejetora, então para o mesmo elemento $y$ de antemão, existe uma origem em relação à função $f \circ g$.

Então existe $t\in A$ de tal forma que $f(g(t))=y$.

Mas então, se marcarmos $x$ o elemento $g(t)$ nós receberemos isso $f(x)=y$ que é o oposto do que dissemos no início.