Trocando séries e integrais

Question

Eu sei que posso usar Lebesgue ou teorema de convergência monótona para trocar o limite de somas parciais e uma integral de Lebesgue, dada uma série de potências ou uma série de funções genéricas. Mas, em geral, dada uma série$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ que converge e define $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ com $f_n(u)$integrável, gostaria de saber quando poderia trocar a integração e a série. Em particular no contexto da soma do Borel, dado$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Eu queria saber como poderia demonstrar isso se $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$converge, então posso trocar a integral e a série. (Eu sei disso para séries de potências$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ o trabalho pode ser feito usando o raio de convergência e sempre posso encontrar um dominante)

Answer 1

Conforme sugerido por Gerald Edgar, podemos usar o teorema de Fubini-Tonelli. Pelo teorema de Tonelli,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Assim, o teorema de Fubini é aplicável, ou seja, pode-se intercambiar a integral e a série.