Um subconjunto de $\mathbb{R}$ isso é denso em $\mathbb{R}$.

Question

Um subconjunto $S$ do $\mathbb{R}$ é dito ser denso em $\mathbb{R}$ E se $\forall$ $\epsilon > 0$ e $x \in \mathbb{R}$, $\exists$ $s \in S$ de tal modo que $| x - s| < \epsilon$.

Usando esta definição, gostaria de tentar provar que o conjunto $S = \{ a + b \sqrt{3} : a ,b \in \mathbb{Z} \}$ é denso em $\mathbb{R}$.

Qualquer ajuda seria apreciada.

• Estou ciente de que o conjunto $S$é fechado em adição e multiplicação. Não tenho certeza se isso ajuda.

Answer 1

Maneira rápida de mostrar isso $S$ é denso em $\Bbb{R}$:

• $S = \{ a + b \sqrt{3} : a ,b \in \mathbb{Z} \}$ contém o elemento $\zeta := 2 - \sqrt{3}$

• Desde a $S$ é fechado em adição e multiplicação, $\zeta^n$ é em $S$ para cada $n \geq 2$

• Para qualquer $x \in \Bbb{R}$, $x$ é no máximo $\zeta^n/2$ longe de algum elemento de $\zeta^n \Bbb{Z} \subset S$

• Desde a $0 < \zeta < 1$, $\zeta^n \to 0$ Como $n \to \infty$.

Answer 2

DICA: Decorre do fato de que $\{nr\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ é denso em $[0,1)$ sempre que $r$é irracional. (Aqui$x\bmod 1=x-\lfloor x\rfloor$ é a parte fracionária de $x$.) Este fato pode ser provado usando o princípio do escaninho; Eu dei uma prova aqui .