ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

Aşağıdaki ODE'ye sahibim:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

Onu doğrusal bir forma sokmaya çalışırken sıkıştım. denedim$\sin (2y) = \sin y \cos y $ ve sonra ODE'yi bölerek $( \cos y ) ^{-1} $. Bu beni hiçbir şeye götürmedi, bu yüzden bölmeyi denedim$( \sin y )^{-2} $yerine. Ben de sıkıştım. Sanırım bir değişiklik yapmam gerekiyor ama hangisi olduğunu bilmiyorum.

Teşekkürler.

Answer 1

İPUCU

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \, \ sec ^ 2 y \ y '= t' anlamına gelir$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ Şununla çarpın: $2x'$ ve ikame $u=x^2$: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ Şununla çarpın: $e^u$: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ Birleştirmek. $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

---

DE'yi şu şekilde de yeniden yazabileceğinizi unutmayın: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ Ve entegre edin.