Thống kê - Ước tính khoảng thời gian

Ước tính khoảng thời gian là việc sử dụng dữ liệu mẫu để tính toán khoảng các giá trị có thể có (hoặc có thể xảy ra) của một tham số tổng thể chưa biết, trái ngược với ước tính điểm, là một số duy nhất.

Công thức

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Ở đâu -

$ {\ bar x} $ = nghĩa là
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = hệ số tin cậy
$ {\ alpha} $ = mức độ tin cậy
$ {\ sigma} $ = độ lệch chuẩn
$ {n} $ = kích thước mẫu

Thí dụ

Problem Statement:

Giả sử một học sinh đo nhiệt độ sôi của một chất lỏng nào đó quan sát các số đọc (tính bằng độ C) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 và 102,2 trên 6 mẫu chất lỏng khác nhau. Anh ta tính giá trị trung bình mẫu là 101,82. Nếu anh ta biết rằng độ lệch chuẩn cho quy trình này là 1,2 độ, thì ước lượng khoảng thời gian cho trung bình dân số ở độ tin cậy 95% là bao nhiêu?

Solution:

Sinh viên đã tính giá trị trung bình mẫu của nhiệt độ sôi là 101,82, với độ lệch chuẩn $ {\ sigma = 0,49} $. Giá trị tới hạn cho khoảng tin cậy 95% là 1,96, trong đó $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình chưa biết.

$ {= ((101,82 - (1,96 \ nhân lần 0,49)), (101,82 + (1,96 \ nhân lần 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

Khi mức độ tin cậy giảm, kích thước của khoảng tương ứng sẽ giảm. Giả sử sinh viên quan tâm đến khoảng tin cậy 90% cho nhiệt độ sôi. Trong trường hợp này, $ {\ sigma = 0,90} $ và $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0,05} $. Giá trị tới hạn cho mức này bằng 1,645, vì vậy khoảng tin cậy 90% là

$ {= ((101,82 - (1,645 \ nhân lần 0,49)), (101,82 + (1,645 \ nhân lần 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101,01, 102,63)} $

Kích thước mẫu tăng lên sẽ làm giảm độ dài của khoảng tin cậy mà không làm giảm mức độ tin cậy. Điều này là do độ lệch chuẩn giảm khi n tăng.

Biên của lỗi

Biên độ sai số $ {m} $ của ước lượng khoảng thời gian được xác định là giá trị được thêm vào hoặc bị trừ từ giá trị trung bình mẫu xác định độ dài của khoảng thời gian:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Giả sử trong ví dụ trên, sinh viên mong muốn có sai số bằng 0,5 với độ tin cậy 95%. Thay các giá trị thích hợp vào biểu thức cho $ {m} $ và giải n cho phép tính.

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

Để đạt được ước lượng khoảng 95% cho điểm sôi trung bình có tổng chiều dài nhỏ hơn 1 độ, học sinh sẽ phải thực hiện 23 phép đo.