Thống kê - Hồi quy tuyến tính

Một khi mức độ của mối quan hệ giữa các biến đã được thiết lập bằng cách sử dụng phân tích quan hệ đồng, thì điều tự nhiên là đi sâu vào bản chất của mối quan hệ. Phân tích hồi quy giúp xác định mối quan hệ nguyên nhân và kết quả giữa các biến. Có thể dự đoán giá trị của các biến khác (gọi là biến phụ thuộc) nếu giá trị của các biến độc lập có thể được dự đoán bằng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp đại số.

Phương pháp đồ họa

Nó liên quan đến việc vẽ một biểu đồ phân tán với biến độc lập trên trục X và biến phụ thuộc trên trục Y. Sau đó, một đường thẳng được vẽ theo cách mà nó đi qua hầu hết các điểm phân bố, với các điểm còn lại được phân bổ gần như đồng đều ở hai bên của đường thẳng.

Đường hồi quy được gọi là đường phù hợp nhất tóm tắt chuyển động chung của dữ liệu. Nó hiển thị các giá trị trung bình tốt nhất của một biến tương ứng với các giá trị trung bình của biến kia. Đường hồi quy dựa trên tiêu chí là đường thẳng giảm thiểu tổng bình phương độ lệch giữa giá trị dự đoán và giá trị quan sát của biến phụ thuộc.

Phương pháp đại số

Phương pháp đại số phát triển hai phương trình hồi quy của X trên Y và Y trên X.

Phương trình hồi quy của Y trên X

$ {Y = a + bX} $

Ở đâu -

$ {Y} $ = Biến phụ thuộc
$ {X} $ = Biến độc lập
$ {a} $ = Không đổi hiển thị chặn Y
$ {b} $ = Hằng số hiển thị độ dốc của đường

Giá trị của a và b nhận được bằng các phương trình thông thường sau:

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $

Ở đâu -

$ {N} $ = Số lượng quan sát

Phương trình hồi quy của X trên Y

$ {X = a + bY} $

Ở đâu -

$ {X} $ = Biến phụ thuộc
$ {Y} $ = Biến độc lập
$ {a} $ = Không đổi hiển thị chặn Y
$ {b} $ = Hằng số hiển thị độ dốc của đường

Giá trị của a và b nhận được bằng các phương trình thông thường sau:

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $

Ở đâu -

$ {N} $ = Số lượng quan sát

Thí dụ

Problem Statement:

Một nhà nghiên cứu đã phát hiện ra rằng có một mối quan hệ đồng giữa xu hướng cân nặng của cha và con trai. Bây giờ anh ấy quan tâm đến việc phát triển phương trình hồi quy trên hai biến từ dữ liệu đã cho:

Cân nặng của bố (tính bằng Kg)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
Trọng lượng Son (tính bằng Kg)	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

Phát triển, xây dựng

Phương trình hồi quy của Y trên X.
Phương trình hồi quy của trên Y.

Solution:

$ {X} $	$ {X ^ 2} $	$ {Y} $	$ {Y ^ 2} $	$ {XY} $
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
$ {\ sum X = 800} $	$ {\ sum X ^ 2 = 53,402} $	$ {\ sum Y = 810} $	$ {\ sum Y ^ 2 = 54,750} $	$ {\ sum XY = 54,059} $

Phương trình hồi quy của Y trên X

Y = a + bX

Trong đó, a và b nhận được bằng các phương trình thông thường

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt] Trong đó \ \ sum Y = 810, \ sum X = 800 , \ sum X ^ 2 = 53,402 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ... (i)

$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ... (ii)

Nhân phương trình (i) với 800 và phương trình (ii) với 12, ta được:

96000 a + 640000 b = 648000 ... (iii)

96000 a + 640824 b = 648588 ... (iv)

Trừ phương trình (iv) khỏi (iii)

-824 b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = -.0713

Thay giá trị của b trong eq. (Tôi)

810 = 12a + 800 (-0,713)

810 = 12a + 570,4

12a = 239,6

$ {\ Rightarrow} $ a = 19,96

Do đó, phương trình Y trên X có thể được viết dưới dạng

$ {Y = 19,96 - 0,713X} $

Phương trình hồi quy của X trên Y

X = a + bY

Trong đó, a và b nhận được bằng các phương trình thông thường

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt] Trong đó \ \ sum Y = 810, \ sum Y ^ 2 = 54,750 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ... (V)

$ {\ Rightarrow} $ 54.049 = 810a + 54, 750 ... (vi)

Nhân eq (v) với 810 và eq (vi) với 12, chúng ta nhận được

9720 a + 656100 b = 648000 ... (vii)

9720 a + 65700 b = 648588 ... (viii)

Trừ eq viii cho eq vii

900b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = 0,653

Thay giá trị của b trong phương trình (v)

800 = 12a + 810 (0,653)

12a = 271,07

$ {\ Rightarrow} $ a = 22,58