Thống kê - Phương trình hồi quy bậc hai

Hồi quy bậc hai được triển khai để tìm ra phương trình của parabol có thể phù hợp nhất với tập dữ liệu đã cho. Nó có dạng sau:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ where \ a \ ne 0} $

Phương pháp bình phương tối thiểu có thể được sử dụng để tìm ra phương trình hồi quy bậc hai. Trong phương pháp này, chúng tôi tìm ra giá trị của a, b và c để bình phương khoảng cách thẳng đứng giữa mỗi điểm đã cho ($ {x_i, y_i} $) và phương trình parabol ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) là tối thiểu. Phương trình ma trận cho đường cong parabol được cho bởi:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Hệ số tương quan, r

Hệ số tương quan, r xác định mức độ tốt của một phương trình bậc hai có thể phù hợp với dữ liệu đã cho. Nếu r gần bằng 1 thì nó là phù hợp. r có thể được tính theo công thức sau.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ where \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

Nói chung, máy tính hồi quy bậc hai được sử dụng để tính phương trình hồi quy bậc hai.

Thí dụ

Problem Statement:

Tính phương trình hồi quy bậc hai của dữ liệu sau. Kiểm tra thể lực tốt nhất của nó.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	7,5	3	0,5	1	3	6	14

Solution:

Tính toán hồi quy bậc hai trên máy tính bằng cách đặt các giá trị x và y. Phương trình bậc hai phù hợp nhất cho các điểm trên có dạng

$ {y = 1.1071x ^ 2 + 0.5714x} $

Để kiểm tra thể lực tốt nhất, hãy vẽ biểu đồ.

Vì vậy, giá trị của Hệ số tương quan, r cho dữ liệu là 0,99420 và gần bằng 1. Do đó phương trình hồi quy bậc hai là phù hợp nhất.