Thống kê - Định lý cộng xác suất

Đối với các sự kiện loại trừ lẫn nhau

Định lý cộng về xác suất phát biểu nếu A và B là hai sự kiện loại trừ lẫn nhau thì xác suất của A hoặc B được cho bởi

$ {P (A \ or \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Định lý có thể mở rộng cho ba sự kiện loại trừ lẫn nhau cũng như

$ {P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Thí dụ

Problem Statement:

Một quân bài được rút ra từ một gói 52, xác suất nó là quân vương hoặc quân hậu là bao nhiêu?

Solution:

Hãy để Sự kiện (A) = Rút quân bài vua

Sự kiện (B) Rút quân bài nữ hoàng

P (rút thẻ là vua hoặc hoàng hậu) = P (thẻ là vua) + P (thẻ là nữ hoàng)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Đối với các sự kiện không loại trừ lẫn nhau

Trong trường hợp có khả năng xảy ra cả hai sự kiện thì định lý cộng được viết là:

$ {P (A \ or \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ và \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Thí dụ

Problem Statement:

Một người bắn súng được biết là bắn trúng mục tiêu 3 trong số 7 lần bắn; Khi một game bắn súng khác được biết là bắn trúng mục tiêu 2 trong số 5 lần bắn. Tìm xác suất bắn trúng đích khi cả hai cùng thử.

Solution:

Xác suất người bắn đầu tiên bắn trúng mục tiêu P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Xác suất người bắn thứ hai bắn trúng mục tiêu P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Sự kiện A và B không loại trừ lẫn nhau vì cả hai người bắn đều có thể trúng mục tiêu. Do đó, quy tắc phụ gia áp dụng là

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} đô la