Bedeutet das Axiom sein Dual?

Question

Angenommen, wir haben das folgende Axiom für die Projektionsebene:

Axiom : Wenn eine Projektivität jeden der drei unterschiedlichen Punkte auf einer Linie unveränderlich lässt, bleibt jeder Punkt der Linie unveränderlich.

Das Duale dieses Axioms ist die folgende Aussage:

Dual : Wenn eine Projektivität jede der drei unterschiedlichen Linien, die an einem Punkt gleichzeitig auftreten, unveränderlich lässt, bleibt jede Linie, die durch diesen Punkt verläuft, unveränderlich.

Jetzt muss ich das Axiom beweisen $\Rightarrow$ Dual .

Mein falscher Beweisversuch : Lassen Sie die drei Zeilen$a,b,c$, gleichzeitig bei $O$ seien Sie die Linien, die durch die Projektivität unveränderlich bleiben, und $l$ sei eine andere Zeile durch $O$. Wenn wir das drei Punkte beweisen können$l$ Werden durch diese Projektivität unveränderlich gelassen, dann werden wir alle Punkte auf haben $l$ werden durch die Projektivität unveränderlich gelassen, was dies implizieren würde $l$ selbst bleibt unveränderlich, und wir werden fertig sein, weil wir eine beliebige Linie durchlaufen haben $O$.

Jetzt wissen wir das $O$wird durch die Projektivität unveränderlich gelassen. Für jeden anderen Punkt sagen wir$P$, auf $l$Lassen Sie eine Linie durch $P$ außer $l$, sich schneiden $a, b$ und $c$ an den Punkten $A,B$ und $C$, beziehungsweise. Nun wenn$A,B,C$ werden dann von der Projektivität unveränderlich gelassen $P$, ein Punkt auf der Linie $AB$wird auch unveränderlich bleiben. Schon seit$P$ ist ein beliebiger Punkt auf $l$Dies gilt für alle Punkte auf $l$ und wir sind fertig.

Allerdings die Zeilen$a,b,c$ invariant zu sein bedeutet nicht, dass die Punkte $A,B,C$wird durch die Projektivität unveränderlich bleiben . Dort stecke ich fest.

Bitte teilen Sie alle Erkenntnisse, um mich in die richtige Richtung zu bewegen.

Answer 1

Sie können sich eine Projektivität als eine abwechselnde Folge von Punkten und Linien und die Folgen von Perspektiven vorstellen, die sie darstellen. Für ein einfaches Beispiel:$(\ell_1,P_2,\ell_3)$ repräsentiert die Perspektive zwischen Linien $\ell_1$ und $\ell_3$ mit Mitte $P_2$. Und ($P_2,\ell_3,P_4$) ist die Perspektive mit Achse $\ell_3$ zwischen Bleistiften bei $P_2$ und $P_4$. (($\ell_1,P_2,\ell_3,P_4,\ell_5$) ist eine Projektivität $\ell_1\rightarrow\ell_5$ das ist die Zusammensetzung zweier Perspektiven $\ell_1\rightarrow\ell_3\rightarrow\ell_5.$

Lassen $(P_1,\ell_2,\dots,P_1)$ sei eine Projektivität, die drei Linien im Bleistift hinterlässt $P_1$invariant, aber nicht der gesamte Bleistift. Dann überlegen Sie$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$. Dies ist möglicherweise bereits mehr als der Anstoß, den Sie angefordert haben, aber ich werde den letzten Schritt als Spoiler verlassen.

$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$ ist eine Projektivität, die das Axiom verletzt.