Diskreter Profi. Verteilung: binomial
Wir wissen, dass wir für eine Binomialverteilung, wenn wir wissen wollen, wie viele der Ergebnisse eines Ereignisses eingetreten sind, anstatt ein Baumdiagramm zu verwenden, Auswahlen oder Kombinationen verwenden können. Angenommen, eine Zufallsvariable X repräsentiert die Anzahl der Köpfe, nachdem eine Münze dreimal geworfen wurde, und wir wollen das Problem wissen. von Köpfen, die einmal herauskommen.
Wir würden sagen, Pr(X=1)= 3C1 mal ... prob. von erfolg mal prob. des Scheiterns.
Weil wir wissen, dass es drei Möglichkeiten gibt, einen Kopf auszuwählen. Aus dem Baumdiagramm: HNN, NNH, NHN. H = Köpfe, N = keine Köpfe.
Meine Frage ist, warum es richtig ist, Kombinationen zu verwenden, wenn klar ist, dass wir Kombinationen nicht für Dinge verwenden, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt. Hier können wir sehen, dass, weil diese HNN, NNH, NHN alle verschiedene Dinge sind, die das gleiche Element von einem Kopf und zwei Köpfen enthalten, es klar ist, dass die Reihenfolge wichtig ist. Warum können wir nicht stattdessen Permutationen verwenden?
Antworten
Permutationen zählen Anordnungen verschiedener Objekte. Die Elemente einer Folge von Köpfen und Schwänzen können nicht unterschieden werden, wenn die Folge eine Länge von mehr als zwei hat.
Beispielsweise beträgt die Anzahl der Permutationen der Buchstaben des Wortes COUNT, das aus fünf verschiedenen Buchstaben besteht$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$und die Anzahl der Drei-Buchstaben-Permutationen der Buchstaben des Wortes COUNT ist$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Andererseits ist die Anzahl der unterscheidbaren Permutationen der Buchstaben des Wortes DISTRIBUTION, bei denen nicht alle Buchstaben verschieden sind,$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$denn wir müssen drei der zwölf Positionen für die Is auswählen, zwei der verbleibenden sieben Positionen für die Ts und dann die sieben verschiedenen Buchstaben D, S, R, B, U, O, N in den verbleibenden sieben Positionen anordnen. Der Faktor von$3!$im Nenner stellt die Anzahl der Möglichkeiten dar, wie wir die Ist untereinander innerhalb einer gegebenen Anordnung permutieren könnten, ohne eine Anordnung zu erzeugen, die von der gegebenen Anordnung unterscheidbar ist; der Faktor von$2!$im Nenner stellt die Anzahl der Möglichkeiten dar, wie wir die Ts innerhalb einer gegebenen Anordnung untereinander permutieren könnten, ohne eine Anordnung zu erzeugen, die von der gegebenen Anordnung unterscheidbar ist.
In Ihrem Beispiel verwenden wir Kombinationen, da eine Folge von Köpfen und Schwänzen vollständig durch die Auswahl der Positionen der Köpfe bestimmt wird, da die restlichen Positionen der Folge durch Schwänze gefüllt werden müssen.
Im Allgemeinen definieren wir bei einem Binomialverteilungsproblem eines der Ergebnisse als Erfolg und die anderen Ergebnisse als Misserfolge. Die Wahrscheinlichkeit, genau zu erhalten$k$Erfolge bei$n$Versuche, jeweils mit Wahrscheinlichkeit$p$des Erfolgs ist$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$wo$p^k$ist die Wahrscheinlichkeit von$k$Erfolge,$(1 - p)^{n - k}$ist die Wahrscheinlichkeit von$n - k$Ausfälle und$\binom{n}{k}$zählt die Anzahl der Möglichkeiten, die$k$Erfolge können eintreten$n$Versuche. Beachten Sie, dass Sie auswählen, welche$k$des$n$Versuche sind Erfolge, die die Ergebnisse vollständig bestimmen, wenn es genau gibt$k$Erfolge seit dem Rest$n - k$Versuche müssen zu Misserfolgen führen.