Kubikwurzel einer Matrix.

Question

Wie finde ich eine Matrix A so, dass $B=A^3$ wo $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

Ich habe es mit dem charakteristischen Polynom von versucht $A$, aber vorausgesetzt, es ist $f(t)=(8-t)^3$ dann der einzige Eigenwert von $B$ ist 8. Was ich tun wollte, ist zu schreiben $B=QDQ^{-1}$ wo $D$ist die Diagonalmatrix, aber ich konnte nicht. Das weiß ich schon$A$ muss gleich sein $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$.

Irgendwelche Vorschläge?

Answer 1

Hier ist ein schöner, in sich geschlossener Ansatz. Lassen$I$ bezeichnen die Identitätsmatrix und schreiben $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ Ihre Matrix ist $$ B = 8I + 12 N. $$ Ich behaupte (als "Vermutung"), dass die Kubikwurzel dieser Matrix in der Form geschrieben werden kann $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ Bemerken, dass $N^3 = 0$wir erweitern $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ bekommen $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ Es reicht nun aus, das System zu lösen $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$