गणितज्ञ एक त्रिकोणमितीय अभिन्न अंग का उत्पादन करता है ( $\sec^3$) एक रूप में मैं साबित नहीं कर सकता
अनिश्चितकालीन अभिन्न बेशक है $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$।
गणितज्ञ देता है:
Integrate[Sec[x]^3, x]
1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])
$1/2 \sec(x) \tan(x)$ वहाँ है, लेकिन मैंने यह साबित करने की कोशिश में कुछ घंटे बिताए हैं कि वास्तव में मैथमेटिका का लघुगणक है $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, और मैं बस यह नहीं कर सकता! $x/2$अर्ध-कोण मेरे लिए कार्यों में एक स्पैनर फेंकते हैं। वे सिर्फ मेरे लिए बहुत गलत लगते हैं, यह आधे कोण के फार्मूले की तरह है। मुझे वर्गाकार जड़ें मिलती हैं जहाँ मैं चौकों को देखना चाहता हूँ।
मुझे यकीन है कि मुझे कुछ स्पष्ट याद आ रहा है, लेकिन मैं इसे नहीं देख सकता!
जवाब
अंतर करें, लघुगणक को मिलाएं, और आधे कोण सूत्र और पहचान का उपयोग करके पीछे की ओर काम करें $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$
FullSimplify[
D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)
यदि आप पहली बार दिखाते हैं तो आप खुद वहां पहुंच सकते हैं:
FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] + Sin[x/2])]
(* Sec[x] *)
उपरोक्त परिणाम प्राप्त करने के लिए, जब आप इसे एक सामान्य हर पर डालते हैं तो क्या होता है, इस पर एक नज़र डालें:
Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]
(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)
पहचान के द्वारा अंश स्पष्ट रूप से 1 है $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ और हर है $\cos(x)$आधे कोण से। इसे देखने के लिए, हर का विस्तार करें$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ पाने के लिए $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$। तो हमारे पास हैं$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ तथा $1/d$ है $\sec(x)$
... और बाकी व्युत्पन्न के लिए:
FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)
तो इसलिए:
D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)