पूरक उप-स्थान, सत्य / गलत प्रश्न
सही या गलत?
$W_1$, $W_2$ तथा $W_3$ वैक्टरस्पेस से उप-स्थान हैं $V$। अगर$W_1 ⊕ W_2 = V$ तथा $W_1 ⊕ W_3 = V$ , तब फिर $W_2 = W_3$।
मेरे पास वास्तव में एक परीक्षा में पूछे गए छोटे सवाल थे और मैंने कहा कि यह सच था लेकिन मुझे बाद में बताया गया कि यह गलत था। क्या कोई मुझे समझा सकता है कि मैं क्यों इसे सहजता से अपने सिर में देख सकता हूं कि यह वास्तव में गलत है। तभी मैं एक प्रतिरूप के साथ आ सकता हूं।
अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
$W_2$ तथा $W_3$ समरूप हैं, लेकिन एक ही उप-प्रजाति नहीं हो सकता है।
इसे देखने का एक तरीका पहले एक आधार चुनना है $B$ का $W_1$। इस आधार को बढ़ाने के विभिन्न तरीके हैं$W_1 \oplus W_2$, इसलिए अतिरिक्त वैक्टर को जोड़ा गया $B$ अलग-अलग उप-प्रजातियां हो सकती हैं।
एक और तरीका है एक मोटर वाहन की कल्पना करना $\alpha$ का $V$, (अर्थात $\alpha:V \to V$एक उलटा रैखिक नक्शा है)। लगता है कि$W_1$ का एक अनौपचारिक उप-समूह है $\alpha$। फिर$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ ऐसे सभी के लिए $\alpha$।
यह वास्तव में गलत है! आपके पास उदाहरण है$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ लेकिन आ $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$