$0$-트레 포일 및 8 자 수술

중장비를 반입하는 것이 만족 스럽다면 Heegaard Floer 상동 성의 '모자'버전과 같은 일종의 Floer 상 동성을 계산할 수 있습니다. $S^3_0(3_1)$ 및 등급 4 $S^3_0(4_1)$, 그래서 그들은 다릅니다.

다른 한편으로, 매우 특정한 쌍의 3- 다양체를 염두에두고있는 이와 같은 경우에는 유한 순서의 표지를 세어 기본 그룹을 구별하는 것으로 충분합니다. 여기에서 각 매듭 그룹의 Wirtinger 프레젠테이션에서 시작하여 손으로이 문제를 해결하거나 SnapPy에 요청하면됩니다.

In[1]: len(Manifold('3_1(0,1)').covers(9))
Out[1]: 4


In[2]: len(Manifold('4_1(0,1)').covers(9))
Out[2]: 2

이것은 각각의 0 수술의 9 중 커버를 계산하고 숫자가 다르기 때문에 다른 기본 그룹을 가져야합니다.

그들은 또한 기하학적으로 구별 될 수 있습니다. 두 매듭은 속 하나의 섬유 매듭이므로 둘 다$M$ 과 $N$ 원 위의 원환 번들입니다.

그림 8의 보완은 쌍곡선이므로 섬유화의 단 드롬은 pseudo-Anosov입니다. 따라서 모노 드로 미는$N$ Anosov이고 $N$ Sol 기하학이 있습니다.

개미 자리의 보완 물은 원추형 점이 2 차와 3 차인 원반을베이스로 orbifold 한 Seifert 섬유입니다. 경도는 경계에서 일반 원형 섬유와 6 번 교차합니다. $M$ Seifert는 원뿔 점이 2, 3, 6 인 구형 위에 섬유로되어 있습니다.

이후 $M$ 과 $N$ 뚜렷한 기하학적 구조를 인정하는 닫힌 매니 폴드이며 동종이 아닙니다.

더욱이 $M$ 토러스 번들은 순서 6을 가지며 유한하므로 $M$ 실제로 유클리드 구조를 인정합니다.

여기에 부엌 싱크대를 일괄 적으로 던지는 한 매듭의 알렉산더 다항식은 0- 서지 매니 폴드의 불변이라는 점에 유의하십시오. 따라서 숫자 8과 개미 자리 매듭은 다항식이 다르기 때문에 0 수술은 동종이 아닙니다.

이것은 Josh의 기하학적 주장에 대한 위상 적 대응입니다.

이후 $H_1(M) \cong H_1(N) \cong \mathbb{Z}$, 둘 중 하나의 6 겹 순환 덮개가 하나만 있습니다. 그들을 불러$M'$, $N'$. 양자 모두$M'$ 과 $N'$ 둘 다 원 위에있는 원환 체 묶음이고, 그들의 모노 드로 미는 모노 드로 미의 여섯 번째 거듭 제곱입니다. $M$ 과 $N$. 단드 로움 이후$M$ 정체성의 여섯 번째 뿌리이지만 $N$ 그렇지 않습니다. $M'$ 이다 $T^3$, 동안 $N'$ 아니다.

이것은 위의 인수보다 약간 더 간단합니다. 이 두 가지 매니 폴드에 대한 (0,1) 수술의 이중 커버는 상 동성이 다릅니다.

그림 8 매듭 보체에서 (0,1) 수술의 이중 덮개는 Z / 5Z + Z 상 동성을 갖습니다. trefoil 매듭 보체에 대한 (0,1) 수술의 이중 덮개는 Z / 3Z + Z 상 동성을 갖습니다.

커버의 상동성에 의해 매니 폴드를 얼마나 잘 구별하는지는 불분명하며 특정 Sol 토러스 번들에 대해 실패하는 것으로 알려져 있습니다. 그러나 성공하면 매니 폴드를 구별하기위한 구체적인 불변성을 제공합니다.

또한 두 개의 브리지 매듭 보수 S ^ 3 \ TBL (p, q)의 이중 커버는 L (p, q)에서 널 상동 매듭 보수의 보수입니다. 따라서 (0,1) 수술의 이중 덮개처럼 Z / pZ + Z가 상 동성을 갖습니다 (나는 (0,1) 곡선이 순환 덮개에서 들어 올림을 암시 적으로 사용하고 있습니다). 이 경우 trefoil은 (3,2) 두 개의 브리지 매듭이고 숫자 8은 (5,2) 두 개의 브리지 매듭입니다. 따라서 이것은 2- 브릿지 매듭 보체에서 여러 쌍의 (0,1) 수술을 구별하는 효과적인 기술입니다.