2 가우시안 분포의 합이 특성 함수를 사용하여 가우스 분포임을 증명하는 방법 [중복]
Dec 31 2020
X와 Y를 2로하자 $ \mathcal{N}(0, 1) $분포. 나는 그것을 증명해야한다$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ 동일하다 $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.
나는 가우스 분포의 특성 함수를 사용하여 이것을 시도하고 있습니다. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
변수를 변경하여 x와 y를 모두 바꿀 수 없기 때문에 무엇을 해야할지 모르겠습니다. 어떤 sugestions?
답변
1 Arash Jan 01 2021 at 04:39
허락하다 $Z=aX+bY$. 특징적인 기능$Z$ is :
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
EDIT (조잡 실수 ...) 만약 X와 Y는 독립적입니다 :
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
어디 $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$정규 분포의 특성 함수입니다. 그래서,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
이것은 정규 분포의 특성 함수입니다. $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.