5 개의 상자에 3 개의 개체 분배
2 개의 개체가 같은 상자에 들어 가지 않도록 3 개의 개체를 5 개의 상자에 몇 가지 방법으로 배포 할 수 있습니까?
내 추론은 다음과 같습니다.
같은 상자에 2 개의 개체가있을 수 없기 때문에 각 상자에는 고유 한 개체가 있으므로 한 번에 3 개의 상자 만 획득 할 수 있습니다. 한 번에 3 개씩 5 개의 상자를 배열하는 것은 5.4.3 = 60 가지 방법입니다.
그러나 60 가지 방법 각각에 대해 3 개의 물체를 3 개로 배열 할 수 있습니다! 방법.
따라서 총 길이 = 60.3!
그러나이 책은 다음과 같이 주장합니다.
조건이 명시된 5 개의 상자로 3 개의 개체 분포간에 1-1 대응이 있기 때문입니다. 따라서 필요한 분포 수는 p (5,3) = 60 가지입니다.
내 추론의 차이는 무엇입니까? 내가 무엇을 놓치고 있습니까?
답변
그냥 있다고 상상해보십시오 $3$ 상자 및 $3$ 각 라벨이 붙은 공, 상자 A, B, C 및 공 1,2,3.
각 상자에 공이 하나씩있는 이러한 물체를 얼마나 많이 배열 할 수 있습니까?
그냥 $6$. 당신은 대답이$36$, 상자를 다시 정렬 할 수 있기 때문에 $3!=6$ 공을 다시 배열 할 수 있습니다. $3!=6$ 총 $36$ 다른 준비.
그러나 그들은 모두 다르지 않습니다. 박스 BCA와 볼 123이 있다면 이것은 ABC 312 또는 CBA 213과 동일합니다.
그래서 우리는 물체 세트 중 하나, 즉 상자를 ABC로 고정하고 공을 그 안에 넣습니다. $6$ 방법 ($123,132,213,231,312,321$).
그런 다음 우리는 $3$ 상자에서 $5$, 그리고 있습니다 $\binom53=10$이를 수행하는 방법. 특정 상자 세트를 수정하면$6$방법은 공을 놓고 사용하는 곱셈의 원리를 있다,$10\cdot6=60$ 총 방법.
첫 번째 개체에는 5 개의 다른 상자가 있고 두 번째 개체에는 4 개의 다른 상자가 있고 세 번째 개체에는 3 개의 다른 상자가 있습니다 (동일한 상자에 두 개 없음).
곱셈 원리로 $5\times4\times3=60$
또는
$P(5;3)=60$