복잡한 로그로 제한

Question

자연 로그의 주 가지를 포함하는 이러한 한계가 존재합니까? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

첫 번째 제한은 $i\pi$. 그러나 나는 그것을 정당화하는 방법을 모릅니다.

두 번째 한계의 경우 포인트 $z\rightarrow 0$가지 절단에 있습니다. 그래서 한계가 없다고 생각합니다.$\ln$정의되지 않았습니다. 이 올바른지?

도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

에 대한 $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, 당신은 $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

그 후 $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

참고 : 그러나지도 $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ 0에서 연속적이지 않습니다. $f(0) =i\pi$.

그리고 두 번째 한계는 존재하지 않습니다.

Answer 2

처음부터 시작합시다! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ 우리는 그것을 압니다 $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ 그래서 우리가 가지고 있다면 : $$ln(-1)$$ 그것은 의미 $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ 그러므로 $$\theta={\pi}$$ 이제 우리는 $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$같은 방법으로 두 번째 운동을 정당화 할 수 있습니다. (내 영어와 타이핑 실력에 대해 죄송합니다)