Borel 세트 조각도 Borel 세트입니까?

Question

1. E가 Borel이라고 가정합니다. $\mathbb{R}^{a+b}$. 슬라이스를 보여$E^{x_1}$= {$x_2\in\mathbb{R}^b|(x_1,x_2)\in E$} 각각에 대한 Borel입니다. $x_1\in \mathbb{R}^a$.

내가 지금까지 가지고있는 것 : 첫째, 열린 집합을 포함하는 모든 시그마 대수에는 모든 Borel 집합이 포함됩니다. 또한, 저는$\mathbb{R}^{a+b}$, 모든 $x_1\in\mathbb{R}^a$, $E^{x_1}$= {$x_2\in\mathbb{R}^b|(x_1,x_2)\in E$}도 열려 있습니다. 이것은$E\in F$그리고 Borel입니다. 이 추론이 충분한 지 잘 모르겠습니다.

1. "Borel"의 두 인스턴스를 "Lebesgue"로 바꾸면이 진술이 사실이 아님을 보여줍니다.

Banach-Tarski Paradox를 사용할 수 있다고 생각했습니다. 유닛 볼은 5 개의 비-레베 그 측정 가능 섹션으로 나뉩니다. 그러나 이러한 섹션 중 하나를 선택하여$A\in\mathbb{R}^3$. $A\times${$0$}은 Lebesgue 측정 가능 (0 측정 값)입니다.

Answer 1

다음은 몇 가지 힌트입니다.

이유를 보려면 $E^{x_1}$ 지루함, (분명히 지루함) 함수를 고려하십시오. $f(x_2) = (x_1,x_2)$. 이유를 아십니까$E^{x_1}$ 보렐 함수에 의해 설정된 보렐의 프리 이미지는 무엇입니까?

lebesgue 측정 가능 세트는 정확히 $\{ \text{borel sets} \} \cup \{ \text{extra null sets} \}$, 그래서 우리는 아마도 이러한 추가 null 집합을 어떻게 든 사용해야 할 것입니다.

보다 구체적으로 : 가장 좋아하는 (레베 그) 측정 불가능 세트를 가져 가십시오. $X$. 그것을 보여줄 수 있습니까$X \times \{0\}$ (레베 그) 측정 가능 $\mathbb{R}^2$? 아마도 nullset을 사용해야한다는 것을 기억하십시오! 이 작업을 마치면$(X \times \{0\})^0$ 분명히 $X$, 이것은 가정으로 측정 할 수 없었습니다.

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도움이 되었으면 좋겠습니다 ^ _ ^

Answer 2

중히 여기다 $\{A\subseteq \mathbb{R}^{a+b}:A^{x_1} \text{ is Borel in }\mathbb{R}^b\}$. 이 세트에는$\mathbb{R}^{a+b}$ (투영이 열려 있기 때문에) 셀 수있는 결합 및 보완 하에서 안정적이므로 Borel로 구성됩니다. $\sigma$-대수 $\mathbb{R}^{a+b}$. 동일한 기술은 일부 클래스의 세트가 잘 작동한다는 것을 보여줄 수있는 다른 상황에서 매우 유용합니다.$\sigma$-그들에 의해 생성 된 대수도 잘 작동합니다.

Lebesgue 측정 값에 관해서는 null 집합을 포함해야합니다. 예를 들어 Vitali 세트$V\subseteq \mathbb{R}$. 그때$V\times \{0\}$ null 집합입니다. $\mathbb{R}^2$, 따라서 Lebesgue는 측정 가능하지만 그 예상은 그렇지 않습니다.