C * 대수 동형

Question

나는 두 개의 단위가 $C^*$ 대수학 $A$ 과 $B$. 허락하다$X\subset A$ 과 $Y\subset B$ 그 정도이다 $X$ 그리고 스팬 $Y$ 밀도가 높은 * 대수학 $A$ 과 $B$각기. 나는지도가있다$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$이것은 *-동형입니다. 또한지도가 있습니다$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ 그런 $\Phi\circ \Psi=id$. 결론을 내릴 수 있습니까?$\Psi$ 사이의 동형으로 확장 $A$ 과 $B$?

Answer 1

아니, 왜냐하면 $\Psi$수축에 실패 할 수 있습니다. 허락하다$A=B=C[0,2]$, 및 $X=\mathbb C[x]$, $Y=\mathbb C[x^3]$. 둘 다 Stone-Weierstrass에 의해 밀도가 높습니다. 허락하다$\Psi:X\to Y$ ~에 의해 주어지다 $(\Psi f)(x)=f(x^3)$. 그때$\Psi$ 뒤집을 수 있습니다 $*$-동형. 그리고$f(x)=x^n$, $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ 그래서 $\Psi$ 무제한입니다.