det (A) = 0은 솔루션이 고유하지 않다는 것을 어떻게 의미합니까? [복제]

Dec 31 2020

행렬 방정식 Ax = b의 해, 여기서 $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

벡터 인 경우 고유하지 않습니다. $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$선형 의존적입니다. 그런 다음 행렬식의 속성에 따라$$ \det A=0. $$그러나 det A = 0이면 A의 열 벡터가 선형 의존적이라는 것이 항상 뒤 따릅니 까? 누군가 증거를 제시 할 수 있습니까?

답변

StinkingBishop Dec 31 2020 at 19:40

가능한 한 가지 증거 :

  • 열이 선형 적으로 독립적이라고 가정합니다.
  • 행렬을 마지막 열에서 시작하여 거꾸로 작업하는 열 에셜론 형식으로 변환합니다.
  • 선형 독립 열의 수는 결국 0이 아닌 열의 수라는 것을 알고 있습니다. 그러나 열이 독립적이라고 가정 했으므로 0 개의 열이 없습니다.
  • 즉, 대각선에 0이 아닌 모든 요소가있는 삼각 행렬이 생성되었습니다. 결정자는 0이 아닙니다.
  • 그러나 행렬을 행 / 열 에셜론 형식으로 변환 할 때 사용하는 기본 변환은 대각선의 속성을 0 또는 0이 아닌 것으로 변경하지 않습니다.
  • 따라서 행렬식은 시작하기 위해 0이 아닙니다.
orangeskid Dec 31 2020 at 21:00

첫 번째 열이 모두 $0$의, 명확합니다. 그렇지 않으면 첫 번째 요소가있는 행을 고려하십시오.$\ne 0$. 첫 번째 행이되도록 Permute하십시오. 결정자는 여전히$0$, 시스템은 이전과 동일합니다. 이제 첫 번째 행보다 낮은 첫 번째 열의 모든 요소를 ​​줄입니다. 여전히 결정적인$0$, 시스템은 여전히 ​​동일합니다. 이제 첫 번째 행과 열을 제거하여 형성된 행렬을 살펴보십시오. 결정자는$0$. 귀납법 적용, 0이 아닌 솔루션 찾기$(x_2, \ldots, x_n)$. 이제 원래의 첫 번째 방정식을 사용하여$x_1$. 이제 전체 시스템에 대해 0이 아닌 솔루션이 있습니다.