규범 공간의 약한 토폴로지
허락하다 $X,Y$ 두 개의 표준 공간이고 $T:X\rightarrow Y$ 제한된 선형 연산자가 될 수 있습니다. $X,Y$약한 토폴로지로. 내 질문은$T$ 약하게 압축 된 집합 매핑 $X$ 약하게 압축 된 세트 $Y$ 두 번째 질문은 $T$ 우리가 장비하면 연속지도로 남아 있습니다. $X,Y$ 약한 토폴로지로.
답변
만약 $V$ 다음의 하위 요소입니다. $\tau_w$ 에 $Y$ 포함 $0_Y$, 다음 기능이 있습니다 $\phi:Y\to \mathbb F$ 과 $\epsilon>0$ 그런 $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. 그때,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. 지금$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ (표준) 연속 선형 함수이므로 $T^{-1}(V)$ 약하게 열려있다 $X$ 포함 $0_X$. 그것은 다음과 같습니다$T$약한 연속입니다. 이것은 두 번째 질문에 긍정적 인 대답을 제공하고 첫 번째 질문에 긍정적 인 대답을 제공합니다.
이 답변은 새로운 것을 제공하지 않지만 시퀀스 측면에서 설명이 더 명확 할 것이라고 생각합니다. 간결성 질문은 약한 연속성 (임의의 토폴로지에 적용됨)에서 비롯되므로 후자를 표시하는 것으로 충분합니다.
가정 $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. 그런 다음 모두를 위해$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. 특히 이중 형태의$g\circ T$, 어디 $g\in Y^*$, 만족합니다 $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ 하지만 이것은 단지 $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.