음이 아닌 실수에 대한 n 번째 근의 존재 증명
다음 결과를 증명하고 싶습니다. "Let $x,y \geq 0$ 음수가 아닌 현실이되고 $n,m \geq 1$양의 정수 여야합니다. 만약$y = x^{\frac{1}{n}}$, 다음 $y^{n} = x$. "이것은 Terence Tao의 저서 Analysis 1의 보조 정리 5.6.6 (a)입니다.
n 번째 루트는 다음과 같이 정의됩니다. $x^{\frac{1}{n}}:=$저녁을 먹다$\{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ 과 $y^{n}\leq x\}$.
이전에는 다음과 같은 기본형이 입증되었습니다. "$\textbf{Lemma 5.6.5:}$ "허락하다 $x\geq 0$ 음수가 아닌 진짜이고 $n\geq 1$양의 정수 여야합니다. 그런 다음 세트$E:= \{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ 과 $y^{n}\leq x\}$비어 있지 않으며 위에도 제한되어 있습니다. 특히,$x^{\frac{1}{n}}$ 실수입니다. "
기본형 5.6.5가 주어 졌을 때 보여 주어야 할 것은 $y^{n}<x$ 과 $y^{n}>x$모순으로 이어집니다. 예를 들어,$n=2$ 과 $y^{2}<x$ 우리는 찾을 수 있습니다 $\varepsilon>0$ 그런 $(y+\varepsilon)\in E$ 확장하는 것만으로 $(y+\varepsilon)^{2}$ 및 선택 $\varepsilon$ 적절하게, 가정에 모순되는 $y = sup E$.
이 결과가 ID를 사용하여 어떻게 입증되는지 잘 알고 있습니다. $b^{n} - a^{n} = (b-a)(b^{n-1} + b^{n-2}a + ... +a^{n-1})$예를 들어 Rudin의 실제 분석 책이나 이항 정리에서 사용됩니다. 그러나 나는 교과서에 주어진 몇 가지 힌트만을 사용하여 결과를 증명하려고 노력하고 있습니다. 힌트는 다음과 같습니다.
1) 증거 검토 $\sqrt2$실수입니다 (증명은 위의 정확한 개요를 따릅니다). 2) 모순에 의한 증명. 3) 질서의 삼분법. 4) 발의안 5.4.12
$\textbf{Proposition 5.4.12:}$ "허락하다 $x$양의 실수 여야합니다. 그런 다음 양의 유리수가 존재합니다$q$ 그런 $q\leq x$, 양의 정수가 있습니다. $N$ 그런 $x\leq N$. "
위의 네 가지 힌트만을 사용하여 결과를 증명하려고했지만 아무데도 얻을 수 없었습니다. 위의 문장 이상으로 구성된 전체 기본형에 대해 네 가지 힌트가 제공되므로 모든 힌트가이 특정 문장에 사용되어야한다는 것이 명확하지 않습니다. 이전에는 지수의 속성이 실수와 정수 지수에 대해 입증되었으므로 증명에 사용할 수 있습니다.
여기에 비슷한 질문이 있습니다 Help with a lemma of the nth root (without the binomial formula) , 그러나 내 질문은 거기에 답변되지 않았습니다 (내가 읽은 다른 유사한 게시물에서도 답변되지 않았습니다).
내 시도는 다음 아이디어를 중심으로 이루어졌습니다. $y^{n} < x$. 그때$x-y^{n}>0$, 이는 $q\in \mathbb{Q}^{+}$ 그런 $q\leq x -y^{n}$. 우리는 또한$0<q<1$ 얻기 위해 $q^{n}\leq x-y^{n}$, 이것이 도움이된다는 것은 분명하지 않습니다. 우리가 가정하면$(y+\varepsilon)^{n} \geq q^{n} + y^{n}$ 모든 $\varepsilon>0$, 그러면 우리는 한계를 다음과 같이 취함으로써 모순을 얻을 수 있습니다. $\varepsilon$0이되는 경향이 있습니다. 그러나 한계는 다음 장까지 개발되지 않습니다. 대신, 나는 찾으려고 노력했습니다.$\varepsilon$ 직접적으로, 특히 운없이 4 번 힌트를 사용하려고 시도함으로써 (여기에 모든 지저분한 시도를 포함하면 이미 길이가 긴 게시물을 읽을 수 없게 될 것이라고 생각합니다).
어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다. 긴 게시물을 용서하십시오. 시간을내어이 글을 읽어 주신 분들께 감사드립니다.
$\textbf{Edit:}$아래 솔루션에 대한 시도를 게시했습니다. 또한 합리적 정보를 찾기 위해 발의안 5.4.12를 사용할 필요가 없다는 것도 알고 있습니다.$q$. 예를 들어 실수로 작업 할 수 있습니다.$x-y^{n}$ ($y^{n]-x$) 직접.
답변
여기에 조합을 사용하지 않은 시도가 있습니다. 트릭은$(y + \varepsilon)^n$ 과 $(y - \varepsilon)^n$ 와 $y^n + \delta$ 과 $y^n - \delta$ 각기.
허락하다 $E = \{z \in \mathbb{R} : (z \geq 0) \land (z^n \leq x)\}$. 그래서$y = x^{1 / n} = \sup(E)$. 모순을 위해 가정하십시오$y^n \neq x$. 그러면 발의안 5.4.7에서 다음 진술 중 정확히 하나가 참입니다.
(나는) $y^n < x$. 이제 우리는$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y + \varepsilon)^n < x$. 때문에$y < y + \varepsilon$, 그래서 우리는 $y^n < (y + \varepsilon)^n$. 허락하다$\delta = (y + \varepsilon)^n - y^n$, 다음 $\delta > 0$. 추론 5.4.13에 의해 우리는$N \in \mathbb{N}$ 과 $N > 0$ 그런 $\delta < 1 \times N$. 발의안 5.4.14에 의해,$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ 그런 $\delta < q < N$, 즉 $\delta / q < 1$, 그리고 우리는 $$ \begin{align*} (y + \varepsilon)^n &= y^n + \delta \\ &= y^n + q \delta / q & (q \neq 0) \\ &< y^n + q. & (\delta / q < 1) \end{align*} $$ 이것은 우리가 그것을 보여줄 수 있다면 $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ 과 $q > 0$ 그런 $y^n + q < x$, 그러면 우리는 $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y + \varepsilon)^n < x$. 우리는 그런 것을 보여줄 수 있습니다$q$ 발의안 5.4.14에 의해 존재하기 때문에 $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ 과 $0 < q < x - y^n$. 그래서 우리는$\varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y + \varepsilon)^n < x$. 그러나 이것은$y + \varepsilon \in E$ 과 $y + \varepsilon \leq y$, 모순.
(II) $y^n > x$. 이제 우리는$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y - \varepsilon)^n > x$. 때문에$y > y - \varepsilon$, 그래서 우리는 $y^n > (y - \varepsilon)^n$. 허락하다$\delta = y^n - (y - \varepsilon)^n$, 다음 $\delta > 0$. 발의안 5.4.13에 따라 우리는$q \in \mathbb{Q}$ 과 $q > 0$ 그런 $q < 2q \leq \delta$. 그런 다음 우리는$\delta / q > 1$ 과 $$ \begin{align*} (y - \varepsilon)^n &= y^n - \delta \\ &= y^n - q \delta / q & (q \neq 0) \\ &> y^n - q. & (\delta / q > 1) \end{align*} $$ 이것은 우리가 그것을 보여줄 수 있다면 $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ 과 $q > 0$ 그런 $y^n - q > x$, 그러면 우리는 $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y - \varepsilon)^n > x$. 제안 5.4.14에 의해 그러한 (q)가 존재 함을 보여줄 수 있습니다.$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ 과 $0 < q < y^n - x$. 그래서 우리는$\varepsilon \in \mathbb{R}$ 과 $\varepsilon > 0$ 그런 $(y - \varepsilon)^n > x$. 그러나 이것은$y - \varepsilon$ 의 상한입니다. $E$ 과 $y - \varepsilon < y = \sup(E)$, 모순.
위의 모든 경우에서 우리는 모순을 얻습니다. $y = x^{1 / n} \implies y^n = x$.
여기에 해결책에 대한 나의 시도가 있습니다. 경우에 유의하십시오$y^{n} > x$ 1 차 입회에서 증명 한 결과를 설정하여 사용할 수 있기를 바랬습니다. $y=k+\varepsilon$하지만 지금까지 한 쌍이 있다는 것을 증명할 수 없었습니다. $(k,\varepsilon)$ 그런 $y=k+\varepsilon$ 과 $(k+\varepsilon)^{n} - k^{n}<q$ 동시에 만족합니다.
귀납법으로 다음을 증명합니다. 음이 아닌 실수에 대해 $y$ 모든 양의 유리수에 대해 $q$ 존재 $\varepsilon>0$ 그런 $(y+\varepsilon)^{n} - y^{n} < q$. 경우$n=1$분명합니다. 이제 진술이 증명되었다고 가정 해보자.$n=k$. 우리는 그것이 유지된다는 것을 보여야합니다$n=k+1$. 참고$(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} = (y+\varepsilon)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon$. 허락하다$q_{0}$ 다음보다 작은 양의 유리수 $q/2(y+1)$. 그러한 숫자는 명제 5.4.14에 의해 존재합니다. 우리의 귀납 가설에 따르면$\varepsilon_{0}$ 그런 $(y+\varepsilon)^{k} - y^{k} < q_{0}$. 또한 존재$\varepsilon_{1}$ 그런 $\varepsilon_{1} < 2y^{k}$. 따라서$\varepsilon = $분$(1, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$, 우리는 그것을 얻습니다 $(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} < (y+1)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon < q/2 + q/2 < q$. 이것으로 입문이 완료되었습니다.
그러나 이것은 존재한다는 것을 보여줍니다 $\varepsilon>0$ 그런 $(y+\varepsilon)^{n} < q + y^{n}\leq x$, 즉 $(y+\varepsilon)\in E$. 그러므로,$y$ 최고가 아닙니다 $E$, 모순.
다음으로, $y^{n} > x$. 이것은 다음을 의미합니다.$y>0$, 이후 $y^{n} = 0$ 경우에만 $y=0$. 그러면 양의 유리수가 존재합니다$q$ 그런 $y^{n}-x\geq q$. 따라서 우리가 존재한다는 것을 보여줄 수 있다면$0 < \varepsilon < y$ 그런 $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$, 우리는 끝났습니다. 지금은 좀 더 우아한 솔루션이없는 경우 위와 동일한 유도 절차를 수행해 보겠습니다. 우리는 양의 실수에 대해$y$ 임의의 양의 유리수 $q$ 존재 $\varepsilon$,와 함께 $0<\varepsilon < y$, 그런 $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$. 기본 케이스$n=1$분명합니다. 다음으로, 우리가 다음에 대한 진술을 증명했다고 가정합니다.$n=k$. 참고$y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k}$. 명제 5.4.14 (두 실수 사이에 이성이 존재 함)에 의해 양의 유리수가 존재합니다.$q_{0}$ 그런 $q_{0} < q/(2y)$. 우리의 귀납 가설에 따르면 우리는$\varepsilon_{0}$ 그런 $y^{k} - (y-\varepsilon)^{k} < q_{0}$. 또한$\varepsilon_{1} < q/(2y^{k})$. 그런 다음$\varepsilon = $분$(y, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$, 우리는 $y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < q/2 + q/2 = q$. 이것은 유도를 마칩니다. 따라서 이것을 사용하여$\varepsilon$, 우리는 그것을 얻습니다 $-(y-\varepsilon)^{n} < q - y^{n} \leq -x$, 즉 $(y-\varepsilon)^{n} > x$. 그 후$y-\varepsilon$ 에 대한 상한입니다. $E$, 이는 사실과 모순됩니다. $y$ 에 대한 최소 상한입니다. $E$.
둘 다 이후 $y^{n}<x$ 과 $y^{n}>x$ 모순으로 이어지면 우리는 $y^{n}=x$.