해결 $p$ binomcdf $(n,p,k)$= $x$
에서 알 수없는 페이지와 이항 확률 이는 경우에 수행되는$n=0$, 결국 간단한 솔루션이됩니다. 와$n > 0$, 일이 그렇게 간단하지 않습니다. 순진하게 직접 해결하려고하면 더 높은 검정력 방정식을 얻을 수 있습니다.
예 : 해결 $\text{binomcdf}(17,p,8) = 0.3$ (8 회 이하의 성공 확률은 정확히 0.3입니다.)
$$\sum^{8}_{n=0}\binom{17}{n} p^n(1-p)^{17-n} = 0.3$$
그것은 매우 높은 수준의 다항식입니다. 그러한 방정식의 임의 정밀도에 대한 해를 풀거나 수치 적으로 안정된 방식으로 근사하는 좋은 방법은 무엇입니까?
특히 다음과 같은 문제가 있습니다.
하자 $n$입법부의 구성원. 이 입법부에 제안 된 3 가지 조치가 있습니다. 전달하는 첫 번째 조치는 다른 조치를 무효화합니다. 입법부는 만장일치로 하나의 법안이 각 법안과 함께 통과되기를 원하지만 각 회원은 자신의 투표에 대해서만 통제 할 수 있습니다. 짝수 입법부에서 중단 된 투표는 실패한 법안을 의미합니다.
멤버들은 특정 내쉬 확률을 결정합니다 $p_1$ 법안 통과 가능성은 $\frac{1}{3}$ 그리고 또 다른 $p_2$ 기회를 위해 $\frac{1}{2}$, 마지막 법안은 항상 만장일치로 투표합니다. 이 값은 무엇입니까?
해결책은 방정식을 푸는 것입니다
$$\text{binomcdf}(n,p_1,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor) = \sum^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}_{k=0} \binom{n}{k}p_1^k(1-p_1)^{n-k} = \frac{1}{3}$$
$$\text{binomcdf}(n,p_2,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor) = \sum^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}_{k=0} \binom{n}{k}p_2^k(1-p_2)^{n-k} = \frac{1}{2}$$
각각 $p_1$ 과 $p_2$.
홀수 값 $n$ 목표 확률이 $\frac{1}{2}$, 간단한 해결책이 있습니다. $p_2 = 0.5$, 이것이 유일한 답입니다.
지금까지 간단히 스프레드 시트를 적용했습니다. $p_1$ 원하는 기회에 가까워 질 때까지 더 일반적인 방법이 있는지 궁금합니다.
답변
수치 방법이 있지만 목표 확률을 원하는 근사치를 원한다면 $t$ [$t=0.3$ 당신의 $\text{binomcdf}(17,p,8) = 0.3$ 예] with $k$ 또는 더 적은 성공 $n$ [$k=8$ 과 $n=17$ 귀하의 예], 당신은 해결하기 위해 연속성 수정과 함께 정규 근사를 시도 할 수 있습니다
$$\Phi\left(\frac{k+\frac12-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=t$$ 해와 함께 이차를 제공합니다 $$p \approx \frac{2\left(k+\frac12\right)+\Phi^{-1}(t)^2 \pm \sqrt{\left(2\left(k+\frac12\right)+\Phi^{-1}(t)^2\right)^2-4\left(n+\Phi^{-1}(t)^2\right)\frac{\left(k+\frac12\right)^2}{n}}}{2\left(n+\Phi^{-1}(t)^2\right)}$$
귀하의 예에서 이것은 $ p \approx 0.4369153$ 또는 $0.5630847$. 더 큰 값을 원합니다 (선택$+$ 에 대한 $\pm$), 다른 하나는 가짜이고 다음으로 시작하는 경우에 해당합니다. $t=0.7$ .
얼마나 좋은가 $p \approx 0.5630847$? 이항 합계에 다시 넣으면$0.2980416$ 보다는 $0.3$,이 경우 나쁘지 않습니다. 에 대한 정확한 원하는 값$p$ 끝났어 $0.56241865$ 다시 근사치가 멀지 않습니다.
첫 번째 질문과 관련하여 찾고있는 솔루션이 범위에 가깝지 않기를 바라면서 주위의 시리즈 확장을 시도하십시오. $p=\frac 12$. 이것은 줄 것이다$$f(p)=\sum^{8}_{n=0}\binom{17}{n} p^n(1-p)^{17-n}$$ $$f(p)=\frac{1}{2}-\frac{109395 }{32768}\left(p-\frac{1}{2}\right)+\frac{36465 }{1024} \left(p-\frac{1}{2}\right)^3-\frac{153153}{512} \left(p-\frac{1}{2}\right)^5+\frac{109395}{64} \left(p-\frac{1}{2}\right)^7-\frac{425425}{64} \left(p-\frac{1}{2}\right)^9+O\left(\left(p-\frac{1}{2}\right)^{11}\right)$$이제 시리즈 회귀를 사용하여 근사치를 $$p_{(m)}=\frac 1 2+\sum_{n=1}^m \frac {a_n}{b_n}\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2n-1}$$
노력 중 $k=\frac 3{10}$ 이것은 다음 추정치를 제공합니다 $$\left( \begin{array}{cc} m & p_{(m)} \\ 1 & 0.559908 \\ 2 & 0.562201 \\ 3 & 0.562395 \\ 4 & 0.562416 \end{array} \right)$$ "정확한"솔루션은 $0.562419$.
로 펠릭스 마린은 지적, 우리는 우리가 가지고있는 경우에 경계가$\operatorname{binomcdf}(n,p,k)-t$ 에 의해 주어진 변경 기호 $p=0$ 과 $p=1$, 따라서 브라케팅 방법 을 안전하게 시도하여 신속하고 확실한 수렴을 얻을 수 있습니다. 미분이 알려져 있으므로 Brent의 방법 , Chandrupatla의 방법 또는 Newton-Raphson 방법 을 시도해 볼 수 있습니다.
남은 유일한 문제는 원하는 값이 cdf가 매우 평평 해지는 경계에 가까울 경우 느린 수렴을 얻을 수 있다는 것입니다. 이것은 대칭을 사용하여 수행 할 수 있습니다.$0$ 또는 $1$. 에 대한$0<k<n-1$:
$$\operatorname{binomcdf}(n,p,k)\approx\binom nk(1-p)^{n-k},\quad p\approx1\\\operatorname{binomcdf}(n,p,k)\approx1-\binom n{k+1}p^{k+1},\quad p\approx0$$
귀하의 예를 들어 $\operatorname{binomcdf}(17,p,8)=0.3$, 이러한 근사값은
$$0.313\le p\le0.715$$
더 정확한 $p=0.56241865$.
Chandrupatla의 방법을 사용한 구현 은 여기 를 참조 하십시오 .