이 함수의 미분을 어떻게 찾을 수 있습니까?

Question

나는 스스로 공부하고 있으며 다음의 파생물을 찾으려고 노력하고 있습니다.

$$y= 2 \sqrt{x} $$ 지점 [1, 2]에서.

이제 나는 전형적인 방법으로 미분하는 방법을 알고 있지만 누군가가 $+h$방법? 한계를 해결하는 데 문제가 있습니다. 즉, 한도$h->0$ 에 대한:

$$\frac{2 \sqrt{1 + h} - 2 \sqrt{1}}{h}$$

내가 얻는 것은 무한대입니다. 이것은 일반적인 방법으로 도함수를 수행하는 것처럼 분명히 잘못되었습니다.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

1과 같습니다.

감사!

Answer 1

켤레 분획으로 곱하기 $\frac{2\sqrt{1 + h} + 2}{2\sqrt{1 +h} + 2}$:

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + h}-2}{h}\frac{2\sqrt{1+h}+2}{2\sqrt{1 + h} + 2} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{4h}{2h(\sqrt{1 + h} + 1)} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{1+h} + 1}=\boxed{1}$$

이러한 파생 상품을 사용할 때 $\frac{0}{0}$ 분자에 뿌리가 있습니다. 일반적으로 켤레를 곱하고 단순화하는 것이 가장 좋습니다. $h$ 어딘가에 튀어 나올 것입니다.

Answer 2

"평범한 방법"이 무엇인지 물어봐야한다고 생각합니다.

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2\sqrt {a} - 2\sqrt {x}}{a-x}$

우리는 대체했습니다 $x+h$ 와 $a.$ 대수는 이런 식으로 더 좋습니다.

곱하기 $\frac {\sqrt {a} + \sqrt {x}}{\sqrt {a} + \sqrt {x}}$

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2(a-x)}{(a-x)(\sqrt {a} + \sqrt {x})}$

그만큼 $a-x$ 요인은 언제 취소됩니다 $a$ 비슷하지만 같지 않음 $x.$

$f'(x) = \lim_\limits{a\to x} \frac {2}{\sqrt {a} + \sqrt {x}}$

그리고하자 $a$ 접근하다 $x.$

$f'(x) = \frac {1}{\sqrt {x}}$

또는 일반화 된 이항 정리를 사용할 수 있습니다.

$f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {2(x+h)^\frac 12 - 2x^\frac 12}{h}$

이항 정리는 다음과 같이 말합니다. $(x+h)^\frac 12 = x^\frac 12 + \frac 12 x^{-\frac 12}h - \frac 18 x^{-\frac 32}h^2 +\cdots$

그만큼 $n$th 용어는 $c_n = c_{n-1} \frac {{\frac 12 - (n-1)}}{n} x^{-1}h$

$f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {2x^\frac 12 + x^{-\frac 12}h - \frac 14 x^{-\frac 32}h^2 + \cdots - 2x^\frac 12}{h}\\ f'(x) = \lim_\limits{h\to 0} \frac {x^{-\frac 12} - \frac 14 x^{-\frac 32}h + \cdots}{h}$

그리고하자 $h$ 이동 $0.$

$f'(x) = \frac {1}{\sqrt {x}}$