이 명확한 통합 문제에 갇혀
나는 다음과 같은 명확한 적분을 해결하려고 노력했지만 진전을 이루지 못했습니다.
$$\int_{-5}^{-2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx+\int_{1/6}^{1/3}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx + \int_{6/5}^{3/2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx $$
내가 알아낼 수있는 유일한 것은 통합되는 기능의 값이 -5, 1/6 및 6/5에서 동일하다는 것입니다. 또한 -2, 1/3 및 3/2에서 동일합니다. 이것이 어떻게 도움이 될지 확실하지 않습니다.
다른 명확한 정수 속성을 생각할 수 없습니다. 또한 무기한 통합이 너무 길어질 수 있습니다.
어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
$$\mathcal{I}=\underbrace{\int_{-5}^{-2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_1}+\underbrace{\int_{1/6}^{1/3}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_2} + \underbrace{\int_{6/5}^{3/2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_3} $$
우리는 대체를 사용할 것입니다 $u=\frac{1}{1-x}$ ...에 대한 $I_1$ 과 $u=1-\frac{1}{x}$ ...에 대한 $I_3$ 세 가지 적분 모두 다음과 같은 경계를 갖도록 $I_2$: \begin{align*} I_1 &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x)^2} {x^2(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \\ I_3 &=\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x)^2} {(x-1)^2(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \\ \end{align*} 이제 다시 작성 $\mathcal{I}$ 같이: \begin{align*} \mathcal{I}=I_1+I_2+I_3&=\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right)\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x\\ &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x\\ \end{align*}이제 Ostrogradsky의 방법을 사용하여 이전 적분의 평가를 제시하겠습니다. 쉬운 대체 또는 더 쉬운 접근 방법이있을 수 있지만이 방법이 작동합니다. 여기 에서 Ostrogradsky의 방법에 대한 자세한 설명을 찾을 수 있습니다 .\begin{align*} \int \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x &= \frac{Ax^2+Bx+C} {x^3 - 3 x + 1} +\int \frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \right) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{Ax^2+Bx+C} {x^3 - 3 x + 1} +\int \frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \right)\\ \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} &= -\frac{Ax^4+2Bx^3+(3A+3C)x^2-2Ax-3C}{\left(x^3-3x+1\right)^2} +\frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \\ (x^2 - x+1)^2 &= Dx^5+(E-A)x^4+(F-3D-2B)x^3+(D-3E-3C-3A)x^2 \\ & \quad +(E-3F+2A)x+(B+3C) \\ \end{align*} 여기에서 풀어야 할 방정식 시스템을 설정할 수 있습니다. $A,B, C,D,E, \text{ and }F$: \begin{align*} D&=0\\ E-A&=1\\ F-3D-2B&=-2\\ -3A-3C+D-3E&=3\\ 2A-3F+E&=-2\\ B+3C&=1\\ \end{align*} 어느 양보 $A=-1$, $B=1$, $C=0$, $D=0$, $E=0$, 및 $F=0$. 따라서,\begin{align*} \mathcal{I} &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x = \frac{-x^2+x+0} {x^3 - 3 x + 1}\bigg \rvert_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} +\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{0x^2+0x+0} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \\ &= \frac{x-x^2}{x^3-3x+1} \bigg \rvert_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \\ &= \boxed{\frac{624}{109}} \\ \end{align*}
일부 컴퓨팅 소프트웨어 (Wolfram 사용)를 사용하여이 답을 확인할 수 있습니다. $I_1$ 여기 에$\approx 4.41392$, $I_2$ 여기 에$\approx 0.419169$, 그리고 마지막으로 $I_3$ 여기 에$\approx 0.891683$; 그래서$\mathcal{I} \approx 4.41392+0.419169+0.891683 = 5.724772$ 과 $\frac{624}{109} \approx 5.72477064$.