적분 변환 감소?

Question

다음 적분이 동일하다는 것을 발견했습니다.

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

허락하다 $f^s(x)=x^s,$ LHS는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

제한된 지원에 대한 Mellin 변환 을 상기시킵니다 .

RHS는 변장 한 Mellin 변형의 일종입니까?

그런 것 같습니다. 이것은 상수에 대해$r>0$ 다음 적분은 적분의 유일한 객체가 커널 인 Mellin 변환을 나타냅니다.

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

따라서이 특정 커널의 경우 Mellin 변환은 커널 자체를 사용해서 만 작성할 수 있다고 생각합니다.

그 맞습니까?

Answer 1

에 대한 $s > 0$, 일정 간격으로 절대적으로 수렴한다고 가정합니다. $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

그렇습니다. RHS는 변장 한 Mellin과 Laplace 변형입니다.

(분석적 연속으로) 질문 할 때 더 재미 있습니다. $f$ 그리고 어떤 의미에서 (분석적 기능적) 평등은 $\Re(s)\in (a,b)$ 복잡한.