정리 Cramer-Wold.

Question

정리 (Cramer-Wold 장치) : 임의의 분포 $n$-벡터 $X$ 선형 조합의 모든 1 차원 분포 집합에 의해 완전히 결정됩니다. $t^TX$, 어디 $t$ 모든 고정 범위 $n$-벡터. $$$$ 증명. $ Y : = t ^ TX $ 에는 다음과 같은 특징적인 기능이 있습니다. $$ \ phi_Y (s) : = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ 각 $ 의 분포를 안다면 Y $ , 우리는 CF $ \ phi_Y (s) $를 알고 있습니다. 특히 $ s = 1 $를 취하면 $ E [e ^ {ist ^ TX}] $를 압니다 . 그러나 이것은 $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ 에서 평가 된 $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ 의 CF입니다 . 그러나 이것은 $ X. $ 의 분포를 결정합니다.

내 질문 :

1. 경우 $ S = 1 $를 한 다음 증거를 잃게 일반성을합니까? 왜 안돼?
2. 증명에 대한 나의 해석은 벡터와 벡터의 선형 조합이 동일한 특성 함수를 가지면 분포가 동일하다는 것입니다. 이 해석이 맞습니까? 3) 정리에서 '완전히 결정됨'은 무엇을 의미합니까?

Answer 1

• 첫 번째 질문에서 "일반성 상실"이 의미하는 바를 이해하지 못합니다. 나에게 중요한 것으로 보이는 증거의 유일한 "일반성"은$\ n$-벡터 및 모든 $\ n\ $, 그렇습니다. 퍼팅$\ s=1\ $ 증명의 한 단계에 불과하며, 가치에 관계없이 합법적으로 취할 수있는 단계입니다. $\ n\ $ 과 $\ X\ $ 따라서 제한을 두지 않습니다.

• 벡터는 항목의 선형 조합과는 다릅니다 (벡터가 $\ X\ $ 이다 $1$-차원 및 선형 조합은 $\ 1\cdot X\ $), 스칼라 여야합니다. 따라서 랜덤 벡터의 분포도 특성 함수도 해당 랜덤 벡터 항목의 선형 조합과 같을 수 없습니다. 무작위 분포$\ n$-벡터뿐만 아니라 그 특징적인 기능은 $\ n\ $반면 , 임의 벡터 항목의 특정 선형 조합의 분포 및 특성 함수 는 단일 변수의 함수입니다 .

  Cramer-Wold 장치의 요점 은 임의 벡터 항목의 특정 선형 조합뿐만 아니라 이러한 모든 선형 조합 의 1 차원 분포를 알아야 하며이를 통해 임의의 값을 추론 할 수 있다는 것입니다. 단일 변수의 무한 함수 패밀리에서 여러 변수의 함수 인 벡터 분포.