전력 연관 마그마
특정 속성을 가진 마그마를 찾고 있습니다 :
요구 사항 :
1. Power Associative (물론 대안이나 유사하지 않기를 원합니다).
2. 가역성과 정체성 요소.
선호도 (우선 순위 순) :
1. 제한. 2. 잘 알려져 있고 또는 잘 알려진 이름.
3. 설명 및 구성이 간단합니다.
내가 처음 온라인에서 검색했을 때, 내가 원하는 것에 비해 너무 복잡했던 sedenenions와 유사한 것을 발견했습니다.
어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
나는 이름이 생각하지 않지만, 여기에 (심지어 교환 법칙이 성립하고있는 세 가지 요소의 예입니다 고유의 역수) - 참고 정체성을 가진 매 2 요소 마그마가 대안이기 때문에,이 가능한 가장 작은 예이다가. (그러나 역이 고유하지 않은보다 "대칭"예제는이 답변의 하단을 참조하십시오.)
마그마의 요소 $M$ 아르 $e,x,y$. 놀랍지 않게$e$정체성이 될 것입니다. 나머지 곱셈표는 다음과 같습니다.$$xx=e, yy=e, xy=yx=x.$$ (저는 단순성을 위해 마그마 연산에 연결을 사용하고 있습니다).
우리는 사소하게 정체성과 고유 한 역을 가지고 있으며, 이후 왼쪽 교대 성은 실패합니다. $$(xx)y=ey=y\color{red}{\not=}e=xx=x(xy)$$(오른쪽 대체도 비슷하게 실패합니다). 그것을 보려면$M$ 전력 연관성이므로 각 요소는 $M$완전 연관 서브 마그마를 생성합니다. 그리고 그것을 마무리하기 위해,$M$ 우리가 처음에 요청조차하지 않았던 교환 적입니다.
이 답변의 일반적인 아이디어에 대해 조금 이야기하겠습니다. 특히 첫 번째 글 머리 기호는 다음과 같습니다.
마그마가 있다고 가정 해 보겠습니다. $M$ 및 서브 마그마 $A_i$ ($i\in I$) 그런 $M=\bigcup_{i\in I}A_i$. 그때:
- 각각 $A_i$ 연관성이 있고 $M$ 권력 연관입니다.
- 조금 있으면 $e\in\bigcap_{i\in I}A_i$ 각각 $A_i$ 아이덴티티 요소라고 생각하면 $e$ 실제로 정체성입니다 $M$.
- 위의 글 머리 기호가 유지되고 추가로 각각 $A_i$ 역이 있으면 $M$ 역을 가짐-요소의 역 $A_i$ 의 의미에서 $M$ 의미에서 그 요소의 반대입니다. $A_i$.
이것은 정체성과 역으로 권력 연상 마그마를 구축하는 일반적인 방법을 제안합니다. 위에서 우리가 한 것은 두 개의 "구성 요소"를 사용하여이를 수행하는 것입니다. 각 구성 요소는 실제로 그룹입니다. 즉 "$x$-part "및"$y$-part "는 모두 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. "컴포넌트"를 결정하고 정확히 얼마나 겹치는 지 결정한 후 (공통의 정체성을 가지기를 원하며, 단순성을 위해 정체성 요소 만 공통으로 만들 수 있습니다 ), 우리가해야 할 일은 요소가 어떻게 겹치는 지를 결정하는 것입니다. 다른 "구성 요소"에서 곱합니다.
그러나 이제 우리는 거의 집에서 자유 롭습니다. 여기서 우리가 내리는 모든 결정은 우리에게 권력 연합이고 정체성과 역을 가진 마그마를 줄 것입니다. 그래서 우리는 조금 놀면서 일을 좋게 만드는 선택을 찾습니다.
좀 더 자세히 말하자면, "두 개의 사본을 붙임으로써 마그마를 만들기로 결정했습니다. $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 우리는 두 가지 결정을 내릴 수 있습니다. $x$ 과 $y$ 마그마의 비 정체성 요소) :
어느 것 $x,y,e$ 이다 $xy$?
어느 것 $x,y,e$ 이다 $yx$?
위에서 우리가 한 일에 대한 가장 명백한 대안 (hehe)은 다음과 같이 선언하는 것입니다. $xy=yx=e$. 그 결과 마그마는 더 "대칭 적"입니다-지도 전환$x$ 과 $y$마그마자가 형성-그리고 여전히 정체와 역을 가진 교환 적 힘 연관 비 대체 마그마입니다. 그러나 고유 한 역 이 없습니다 .