matrixform에 의한 OLS

Question

모델이있는 경우 : $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
OLS 추정기가 다음과 같음을 보여 주어야합니다.

내가 사용해야 할 것 같아요 $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. 그러나 나는 혼란 스럽습니다. 누군가 행렬 X와 Y를 쓸 수 있습니까? 첫 번째 좌표 만 곱하면됩니다.$2\times1$, 나는 그것을 위해 보여야하기 때문에 $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

나중에 편집 : 원래 게시물에서 제안 된 모델에 가로 채기가 없다는 것을 알지 못했습니다. 그래서 우리는$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$